telle que j coïncide avec la multiplication par i sur T'(X) et par -i sur Tn(X). Le
projecteur p' de T G ) @ C sur T'(X) est égal à +(1 - ij); le projecteur pn = 1 - p'
de T(X) @I C sur Tn(X) est égal à +(1 + ij). Les composés
sont des R-isomorphismes; le premier transforme j en la multiplication par i, le second
en la multiplication par - i.
8.8.4 ({(Formes de type @,q) ))). Conservons les hypothèses et notations du no
précédent. Soit F un fibré vectoriel complexe de base X, soient p et q deux entiers 2 0,
et soit n = p + q. Soit w une forme différentielle de degré n sur un ouvert U de X, à
valeurs dans F; identifions (8.8.2) w à une section de Altg(T(X) @ C; F). On dit que
w est de type (p, q) si, pour tout x E U, on a
dès que p i- 1 des vecteurs v, appartiennent à T&(X) ou que q + 1 des vecteurs vi
n
appartiennent à TZ(X). Si l'on identifie A TJX) @ C à la somme directe des espaces
rn'
mu
A Tz(X) @ A T I @ ) pour m' f m" = n (A, III, p. 85) et w, à une forme C-linéaire
n
m '
m"
sur A T,(X), il revient au même de dire que w, est nulle sur A Tz(X) @ A Ti@)
pour (m', m") # Cp, 9)Pour tout couple (p, q) d'entiers 20 avec p + q = a, il existe un sous-fibré
vectoriel complexe Altv.q(T(X); F) de Altn(T(X); F) et un seul tel que ses sections sur
un ouvert U de X soient les formes différentielles de type (p, q) sur X, à valeurs dans
F. Le fibré vectoriel Altn(T(X); F) est somme directe des fibrés vectoriels
Altp.q(T(X); F) pour p 2 O, q 2 O et p + q = n. Toute forme différentielle w de
degré n à valeurs dans F se décompose de manière unique en
où w,,, est une forme de type (p, q), appelée composante de type (p, q) de W. Si w est
de classe Ch, avec O < h < k, il en est de même de ses composantes.
Exemples
a) Une forme différentielle de degré n est de type (n, O) si et seulement si elle est
C-multilinéaire.
b) Soient Fr, F" et F trois fibrés vectoriels complexes et soit F' x , Fn -t F un
accouplement C-bilinéaire. Si w' (resp. w") est une forme différentielle de type (p', q')
(resp. (p", 9")) à valeurs dans F' (resp. F"), la forme différentielle o' A w" est de type
(p' + pn, q' 4- q").
c) Supposons que F soit le complexiiïé d'un fibré vectoriel (réel) (8.8.2). Si w
est une forme différentielle de type (p, q) à valeurs dans F, sa conjuguée W (8.8.2) est de
type (9, PI.
projecteur p' de T G ) @ C sur T'(X) est égal à +(1 - ij); le projecteur pn = 1 - p'
de T(X) @I C sur Tn(X) est égal à +(1 + ij). Les composés
sont des R-isomorphismes; le premier transforme j en la multiplication par i, le second
en la multiplication par - i.
8.8.4 ({(Formes de type @,q) ))). Conservons les hypothèses et notations du no
précédent. Soit F un fibré vectoriel complexe de base X, soient p et q deux entiers 2 0,
et soit n = p + q. Soit w une forme différentielle de degré n sur un ouvert U de X, à
valeurs dans F; identifions (8.8.2) w à une section de Altg(T(X) @ C; F). On dit que
w est de type (p, q) si, pour tout x E U, on a
dès que p i- 1 des vecteurs v, appartiennent à T&(X) ou que q + 1 des vecteurs vi
n
appartiennent à TZ(X). Si l'on identifie A TJX) @ C à la somme directe des espaces
rn'
mu
A Tz(X) @ A T I @ ) pour m' f m" = n (A, III, p. 85) et w, à une forme C-linéaire
n
m '
m"
sur A T,(X), il revient au même de dire que w, est nulle sur A Tz(X) @ A Ti@)
pour (m', m") # Cp, 9)Pour tout couple (p, q) d'entiers 20 avec p + q = a, il existe un sous-fibré
vectoriel complexe Altv.q(T(X); F) de Altn(T(X); F) et un seul tel que ses sections sur
un ouvert U de X soient les formes différentielles de type (p, q) sur X, à valeurs dans
F. Le fibré vectoriel Altn(T(X); F) est somme directe des fibrés vectoriels
Altp.q(T(X); F) pour p 2 O, q 2 O et p + q = n. Toute forme différentielle w de
degré n à valeurs dans F se décompose de manière unique en
où w,,, est une forme de type (p, q), appelée composante de type (p, q) de W. Si w est
de classe Ch, avec O < h < k, il en est de même de ses composantes.
Exemples
a) Une forme différentielle de degré n est de type (n, O) si et seulement si elle est
C-multilinéaire.
b) Soient Fr, F" et F trois fibrés vectoriels complexes et soit F' x , Fn -t F un
accouplement C-bilinéaire. Si w' (resp. w") est une forme différentielle de type (p', q')
(resp. (p", 9")) à valeurs dans F' (resp. F"), la forme différentielle o' A w" est de type
(p' + pn, q' 4- q").
c) Supposons que F soit le complexiiïé d'un fibré vectoriel (réel) (8.8.2). Si w
est une forme différentielle de type (p, q) à valeurs dans F, sa conjuguée W (8.8.2) est de
type (9, PI.