seul du fibré vectoriel (réel) sous-jacent à M (7.3.3) dont la restriction à chaque fibre
est la multiplication par l'élément i de C; le carré de j est égal à - 1. Réciproquement,
si M est un fibré vectoriel (réel) de base X et j un automorphisme de M tel que j2 = - 1,
il existe sur M une unique structure de fibré vectoriel complexe admettant M comme
fibré vectoriel (réel) sous-jacent et pour laquelle j est la multiplication par i.
8.8.2 (4 Complexification d'un fibré vectoriel B). On définit un foncteur vectoriel T en
posant T(E) = E @ C pour tout espace de Banach (réel) E, et ~ ( u )
= u @ Idc pour
tout morphisme u: E -+ E' d'espaces de Banach (réels).
Si F est un fibré vectoriel de base X et de classe Ck (O < k < r), son transformé par
le foncteur vectoriel T se note F @ C. Il existe sur F @ C une unique structure de
fibré vectoriel complexe de base X et de classe CL, compatible avec sa structure de
fibré vectoriel (réel) et induisant sur chaque fibre (F @ C), = F, @ C sa structure
canonique d'espace de Banach complexe (EVT, II, fj 8, no 1, Exemple). Muni de cette
structure, on dit que F @ C est le complexifié de F.
Soit U un ouvert de X; l'application canonique
%Yu> @ c -+ %%c(v)
est un isomorphisme, par lequel on identifie ces deux espaces. Si s E &kc(IJ), les
éléments a, T de 9$(U) tels que s = a -t i~ s'appellent la partie réelle et la partie
imaginaire de s; la section S = a - ir s'appelle la conjuguée de S.
En particulier, une section du fibré T(X) @ C s'appelle un champ de vecteurs complexe sur X.
Soit H un fibré vectoriel complexe de base X. Les isomorphismes canoniques
Alt&(T,(X); H) -t AltC(T,(X) @ C; H) définissent un isomorphisme de fibrés vectoriels complexes, dit canonique, de Altk(T(X); H) sur AltC(T(X) @ C; H) (7.8.5),
grâce auquel nous identifierons ces deux fibrés. Soit w une section de ce fibré, autrement dit une forme différentielle de degrép sur X, à valeurs dans H, et soit 5 un champ
de vecteurs complexes, de partie réelle t et de partie imaginaire 7. On pose alors:
i(5, w) = i(5, a ) + i.i(7, w).
Si H est un fibré trivial, on pose
Oc.w = OC.w + iO,.o.
De même, on étend par linéarité le crochet aux champs de vecteurs complexes. Les
formules des nos précédents restent valables.
8.8.3. On appelle structure presque complexe de classe CL (k < r - 1) sur X la
donnée d'une structure de jîbré vectoriel complexe sur T(X), de classe CL, ayant pour
structure réelle sous-jacente la structure naturelle de TG). Une telle structure équivaut
à la donnée d'un automorphisme j de classe CL de T(X) tel que j2 = - 1.
Donnons-nous une telle structure. Prolongeons j en un C-automorphisme de
T(X) Qg C. Il existe une décomposition et une seule de T(X) @ C en somme directe de
deux sous-fibrés complexes :
est la multiplication par l'élément i de C; le carré de j est égal à - 1. Réciproquement,
si M est un fibré vectoriel (réel) de base X et j un automorphisme de M tel que j2 = - 1,
il existe sur M une unique structure de fibré vectoriel complexe admettant M comme
fibré vectoriel (réel) sous-jacent et pour laquelle j est la multiplication par i.
8.8.2 (4 Complexification d'un fibré vectoriel B). On définit un foncteur vectoriel T en
posant T(E) = E @ C pour tout espace de Banach (réel) E, et ~ ( u )
= u @ Idc pour
tout morphisme u: E -+ E' d'espaces de Banach (réels).
Si F est un fibré vectoriel de base X et de classe Ck (O < k < r), son transformé par
le foncteur vectoriel T se note F @ C. Il existe sur F @ C une unique structure de
fibré vectoriel complexe de base X et de classe CL, compatible avec sa structure de
fibré vectoriel (réel) et induisant sur chaque fibre (F @ C), = F, @ C sa structure
canonique d'espace de Banach complexe (EVT, II, fj 8, no 1, Exemple). Muni de cette
structure, on dit que F @ C est le complexifié de F.
Soit U un ouvert de X; l'application canonique
%Yu> @ c -+ %%c(v)
est un isomorphisme, par lequel on identifie ces deux espaces. Si s E &kc(IJ), les
éléments a, T de 9$(U) tels que s = a -t i~ s'appellent la partie réelle et la partie
imaginaire de s; la section S = a - ir s'appelle la conjuguée de S.
En particulier, une section du fibré T(X) @ C s'appelle un champ de vecteurs complexe sur X.
Soit H un fibré vectoriel complexe de base X. Les isomorphismes canoniques
Alt&(T,(X); H) -t AltC(T,(X) @ C; H) définissent un isomorphisme de fibrés vectoriels complexes, dit canonique, de Altk(T(X); H) sur AltC(T(X) @ C; H) (7.8.5),
grâce auquel nous identifierons ces deux fibrés. Soit w une section de ce fibré, autrement dit une forme différentielle de degrép sur X, à valeurs dans H, et soit 5 un champ
de vecteurs complexes, de partie réelle t et de partie imaginaire 7. On pose alors:
i(5, w) = i(5, a ) + i.i(7, w).
Si H est un fibré trivial, on pose
Oc.w = OC.w + iO,.o.
De même, on étend par linéarité le crochet aux champs de vecteurs complexes. Les
formules des nos précédents restent valables.
8.8.3. On appelle structure presque complexe de classe CL (k < r - 1) sur X la
donnée d'une structure de jîbré vectoriel complexe sur T(X), de classe CL, ayant pour
structure réelle sous-jacente la structure naturelle de TG). Une telle structure équivaut
à la donnée d'un automorphisme j de classe CL de T(X) tel que j2 = - 1.
Donnons-nous une telle structure. Prolongeons j en un C-automorphisme de
T(X) Qg C. Il existe une décomposition et une seule de T(X) @ C en somme directe de
deux sous-fibrés complexes :