Supposons que (U, 1, G) vérifie ces conditions; pour tout t €1, notons Gt
l'application x +-+ G(t, x) de X dans Y; posons ot = Gf(o). Pour tout x E X, l'application t H q(x) de 1 dans Alt*(T,(X), F) est de classe Cr, et sa dérivée à l'origine
est donnée par la formule
8.7. Affaiblissement de structure
Dans ce no, on suppose K = R.
8.7.1. Soit X une variété de classe CS, et soit F un fibré vectoriel sur X, de classe Ck,
avec O < k < S. Si O < k' < k, il existe sur F une structure F,. et une seule de fibré
vectoriel de base X et de classe CL' telle que toute carte vectorielle de F soit une carte
vectorielle de F , . On dit que F r se déduit de F par aflaiblissement de la structure de
fibré de F.
8.7.2. Soit r E NR avec r < s, et soit Xr la variété de classe Cr sous-jacente à X (5.13.1).
Le fibré tangent Tmr) est de classe Cr-l; c'est le fibré obtenu par affaiblissement de
structure à partir du fibré tangent Tm), qui est de classe Cs-l.
Soit F un fibré vectoriel sur X, de classe Ck, pour O < k < r - 1. Les formes
différentielles de classe Ck sur X à valeurs dans F s'identifient canoniquement aux
formes différentielles correspondantes sur X,. Les diverses opérations sur ces formes
décrites dans le reste de ce paragraphe sont compatibles avec cette identification.
Dans la suite de ce fascicule, nous laisserons souvent au lecteur le soin d'expliciter
les autres résultats de ce genre.
8.8. Variétés presque complexes et variétés complexes
Dans ce no, on suppose K = R et on désigne par X une variété (réelle) de classe Cr,
avec r E NE.
8.8.1 (a Fibrés vectoriels complexes v). Un fibré vectoriel sur C de base X (7.3.4) est
aussi appelé unjibré vectoriel complexe de base X. Si M est un tel fibré vectoriel, on
appelle carte oectorielle complexe de M un triplet (U, q, E), oh U est un ouvert de X,
E un espace de Banach complexe et rp un isomorphisme de fibrés vectoriels complexes de MIU sur le fibré trivial Eu = U x E. Une famille (Ui, qi, Et) de cartes
vectorielles complexes de M dont les domaines de définition Ui recouvrent X est
appelée un atlas vectoriel complexe de M ; tout fibré vectoriel complexe possède un atlas
vectonel complexe (7.3.3).
On dit parfois C-vectoriel au lieu de vectoriel complexe. De manière analogue, on
dit parfois, lorsqu'on veut parler d'un fibré vectoriel sur R, d'une carte vectorielle
ordinaire de ce fibré, etc., a vectoriel réel )> ou a R-vectoriel >> au lieu de e vectoriel D.
Soit M un fibré vectoriel complexe de base X. Il existe un automorphisme j et un
l'application x +-+ G(t, x) de X dans Y; posons ot = Gf(o). Pour tout x E X, l'application t H q(x) de 1 dans Alt*(T,(X), F) est de classe Cr, et sa dérivée à l'origine
est donnée par la formule
8.7. Affaiblissement de structure
Dans ce no, on suppose K = R.
8.7.1. Soit X une variété de classe CS, et soit F un fibré vectoriel sur X, de classe Ck,
avec O < k < S. Si O < k' < k, il existe sur F une structure F,. et une seule de fibré
vectoriel de base X et de classe CL' telle que toute carte vectorielle de F soit une carte
vectorielle de F , . On dit que F r se déduit de F par aflaiblissement de la structure de
fibré de F.
8.7.2. Soit r E NR avec r < s, et soit Xr la variété de classe Cr sous-jacente à X (5.13.1).
Le fibré tangent Tmr) est de classe Cr-l; c'est le fibré obtenu par affaiblissement de
structure à partir du fibré tangent Tm), qui est de classe Cs-l.
Soit F un fibré vectoriel sur X, de classe Ck, pour O < k < r - 1. Les formes
différentielles de classe Ck sur X à valeurs dans F s'identifient canoniquement aux
formes différentielles correspondantes sur X,. Les diverses opérations sur ces formes
décrites dans le reste de ce paragraphe sont compatibles avec cette identification.
Dans la suite de ce fascicule, nous laisserons souvent au lecteur le soin d'expliciter
les autres résultats de ce genre.
8.8. Variétés presque complexes et variétés complexes
Dans ce no, on suppose K = R et on désigne par X une variété (réelle) de classe Cr,
avec r E NE.
8.8.1 (a Fibrés vectoriels complexes v). Un fibré vectoriel sur C de base X (7.3.4) est
aussi appelé unjibré vectoriel complexe de base X. Si M est un tel fibré vectoriel, on
appelle carte oectorielle complexe de M un triplet (U, q, E), oh U est un ouvert de X,
E un espace de Banach complexe et rp un isomorphisme de fibrés vectoriels complexes de MIU sur le fibré trivial Eu = U x E. Une famille (Ui, qi, Et) de cartes
vectorielles complexes de M dont les domaines de définition Ui recouvrent X est
appelée un atlas vectoriel complexe de M ; tout fibré vectoriel complexe possède un atlas
vectonel complexe (7.3.3).
On dit parfois C-vectoriel au lieu de vectoriel complexe. De manière analogue, on
dit parfois, lorsqu'on veut parler d'un fibré vectoriel sur R, d'une carte vectorielle
ordinaire de ce fibré, etc., a vectoriel réel )> ou a R-vectoriel >> au lieu de e vectoriel D.
Soit M un fibré vectoriel complexe de base X. Il existe un automorphisme j et un