no 6
LE CALCUL DIFFÉRENTIEL D'ORDRE 1
19
note i(+, w) ou i(#)w ou &(a) la forme différentielle sur X, de degré p - 1, à valeurs
dans g*F, telle que
(1)
i(*, w)X(~I, . - , vp- 1) = wP(X)(*(X), - VI, - . TXk) * OP - 11
pour tout x E X et toute famille v,, . . . , v , - ~ d'éléments de Tx(X). Lorsque p = O, on
pose i(+, w) = O. On dit que i(#, w) est leproduit intérieur de + et de w; si + et w sont de
classe Cr, il en est de même de i(+, w). Soit F' x , Fa F un accouplement de fibrés
vectoriels de base Y. Pour w' E 'QP'(Y; F') et wa E rQP"(Y; F3, on a
(2)
i(+)(wl A a")= (i(+)w') A g*wa + (- l)Pg*wl A i(#)wU.
8.6.3. Exemples
a) Un champ de vecteurs 5 sur X définit un relèvement T(g) 0 t de g dans TOI), et
l'on a:
(3)
iCr(g) O 5) = i(5) O g*.
b) Un champ de vecteurs q sur Y définit un relèvement r] O g de g dans TOC), et
l'on a:
(4)
i(r] O g) = g* 0 i(q).
c) Plus généralement, soit h: Y -t Z un morphisme de variétés de classe Cr+l. Si
# est un relèvement de g dans TOC), alors T(h) 0 # est un relèvement de h 0 g dans
T(Z) et i'on a:
(5)
i(T(h) 0 $1 = i(#) 0 h*.
Si p est un relèvement de h dans T(Z), alors p O g est un relèvement de h 0 g dans
T(Z) et l'on a:
8.6.4 (a Transformations idhitésimales n
)
. Soit # un relèvement de classe Cr de g et
soit w une forme différentielle de degrép sur Y, à valeurs dans un espace de Banach F,
et de classe Cr. La forme différentielle sur X
(7)
d(i(#)w) + i(#)dw
est de degré p et de classe Cr-l; on la note O,. w.
Si f est une fonction de classe Cr sur X, on a
8.6.5 (« Caractérisation de 8,. w comme dérivée ))). Conservons les hypothèses de
8.6.4. Soit x EX. Il existe alors un voisinage ouvert U de x, un voisinage ouvert I
de O dans K, et un morphisme G: I x U += Y, de classe Cr, ayant les deux propriétés
suivantes :
a) Pour tout x E U, on a G(0, x) = g(x).
b) Pour tout x E U, l'image par T(,,,(G) du vecteur tangent (1, O) est égale à
LE CALCUL DIFFÉRENTIEL D'ORDRE 1
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note i(+, w) ou i(#)w ou &(a) la forme différentielle sur X, de degré p - 1, à valeurs
dans g*F, telle que
(1)
i(*, w)X(~I, . - , vp- 1) = wP(X)(*(X), - VI, - . TXk) * OP - 11
pour tout x E X et toute famille v,, . . . , v , - ~ d'éléments de Tx(X). Lorsque p = O, on
pose i(+, w) = O. On dit que i(#, w) est leproduit intérieur de + et de w; si + et w sont de
classe Cr, il en est de même de i(+, w). Soit F' x , Fa F un accouplement de fibrés
vectoriels de base Y. Pour w' E 'QP'(Y; F') et wa E rQP"(Y; F3, on a
(2)
i(+)(wl A a")= (i(+)w') A g*wa + (- l)Pg*wl A i(#)wU.
8.6.3. Exemples
a) Un champ de vecteurs 5 sur X définit un relèvement T(g) 0 t de g dans TOI), et
l'on a:
(3)
iCr(g) O 5) = i(5) O g*.
b) Un champ de vecteurs q sur Y définit un relèvement r] O g de g dans TOC), et
l'on a:
(4)
i(r] O g) = g* 0 i(q).
c) Plus généralement, soit h: Y -t Z un morphisme de variétés de classe Cr+l. Si
# est un relèvement de g dans TOC), alors T(h) 0 # est un relèvement de h 0 g dans
T(Z) et i'on a:
(5)
i(T(h) 0 $1 = i(#) 0 h*.
Si p est un relèvement de h dans T(Z), alors p O g est un relèvement de h 0 g dans
T(Z) et l'on a:
8.6.4 (a Transformations idhitésimales n
)
. Soit # un relèvement de classe Cr de g et
soit w une forme différentielle de degrép sur Y, à valeurs dans un espace de Banach F,
et de classe Cr. La forme différentielle sur X
(7)
d(i(#)w) + i(#)dw
est de degré p et de classe Cr-l; on la note O,. w.
Si f est une fonction de classe Cr sur X, on a
8.6.5 (« Caractérisation de 8,. w comme dérivée ))). Conservons les hypothèses de
8.6.4. Soit x EX. Il existe alors un voisinage ouvert U de x, un voisinage ouvert I
de O dans K, et un morphisme G: I x U += Y, de classe Cr, ayant les deux propriétés
suivantes :
a) Pour tout x E U, on a G(0, x) = g(x).
b) Pour tout x E U, l'image par T(,,,(G) du vecteur tangent (1, O) est égale à