de vecteurs sur X, ql et 7, deux champs de vecteurs sur Y, tous de classe Cr. Si tl et f2
sont pliés à 7, et 72 respectivement, [LI, L2] est Q-lié à [v1, qa].
8.5.7. Soit w une forme différentielle de degré p sur X, à valeurs dans un espace de
Banach F et de classe Cr, et soient L0, . . . , tp des champs de vecteurs de classe Cr sur
X. On a
Si t et 7 sont des champs de vecteurs de classe Cr, on a
(10)
et i ( d - i h ) 8, =
71)
dans l'espace des applications de 'Qp(X; F) dans r-lQp-l(X; F).
Pour p = 1, la formule (9) s'écrit:
(11)
d4L, 7) = D< - <[L, 71,
8.6. Relèvements
Soit r E NE et soit g: X + Y un morphisme de variétés de classe Cr+l.
8.6.1. Un relèvement de g dans TOC) est une application
diagramme
TOI)
z, h : X -+ T(Y) telle que le
/ ln
X- Y
soit commutatif, m désignant la projection canonique de TOI) sur Y. La donnée de
équivaut à celle d'une section du fibré vectoriel g*TOC) image réciproque par g de
TOI).
La notion de relèvement généralise celle de champ de vecteurs (à laquelle elle se
réduit lorsque g = Idx); une partie importante des déwtions et résultats relatifs aux
6, et i ( 0 s'étendent aux relèvements; nous nous bornerons à en indiquer brièvement
quelques-uns.
8.6.2. Soit z, h: X 4 T(Y) un relèvement de g : X -+ Y, et soit w une forme différentielle
de degré p sur Y, à valeurs dans un fibré vectoriel F de base Y. Lorsquep 2 1, on