d'espaces de Banach. On a alors T(T(X)) = Tm. Si S: et 7 sont deux champs de
vecteurs de classe Cr sur X, on pose
(1)
[ f , d = 4.7;
c'est un champ de vecteurs de classe Cr-l sur X, appelé le crochet de 5 et de 7.
8.5.2. L'application (6, v) i-t [S:, 71 est K-bilinéaire et alternée. Si f et g sont des
fonctions de classe Cr sur X, à valeurs dans K, on a:
(2)
Lf5, g. 11 =fg[S:, 71 + CfD& - (gDqf)S:8.5.3. Soit F un espace de Banach. On a
(3)
Dc,n1= D,o D, - Dno D,
dans l'espace des applications de Vr+l(X; F) dans Vr-I(X; F).
Si r 2 2 et si 5 est un troisième champ de vecteurs de classe Cr sur X, on a
(4)
[[S:, 71, 51 = [S:, [v, 511 - h , 15, 511 (')
Plus généralement, si r 2 2 et si T est un foncteur vectoriel pour les isomorphismes,
on a
(5)
OC<, n~ = 0, O e n - e n
dans i'espace des applications de z(X) dans %-")
(avec F = TOT@))).
Si r 2 CO, les champs de vecteurs de classe C' sur X forment une K-algèbre de Lie
pour le crochet (LIE, 1,s 1, no 2).
8.5.4. Soient E un espace de Banach, U un ouvert de E, f et 7 deux champs de vecteurs
de classe Cr sur U, identifiés à des éléments de Vr(U; E). Leur crochet est donné par la
formule :
(6)
[ 4 , ~ 1 =
- DnS8.5.5. Soit (ul,. . . , un) un système de coordonnées de X dans un ouvert U. Soient
a
a
S: = 2 ai - et 7 = 2 b" - deux champs de vecteurs de classe Cr sur U. Posons
auf
aui
8.5.6. Soient T: X -t Y un morphisme de variétés de classe Cr+l, S:, et f 2 deux champs
La formule (4) est encore exacte si l'on suppose seulement que les champs de vecteurs 6, 7, 5,
[&VI, [q, 51, [5, sont tous de classe Cl.
2-B.