et, lorsque r 2 2,
(4)
8,.dw = d(8,. w).
Lorsque p = O, le foncteur cc, est le foncteur vectoriel constant défini par F; le
fibré a,(T(X)) s'identifie au fibré trivial Fx, et les sections de ce fibré s'identifient aux
fonctions sur X à valeurs dans F. Si f est un champ de vecteurs de classe Cr sur X et si
f E Vr(X; F), on a
c'est un élément de Vr-l(X; F).
8.4.8. Soient T et 7 , deux foncteurs vectoriels pour les isomorphismes. Un morphisme
de foncteurs vectoriels h: + T définit un morphisme de fibrés vectoriels, noté encore
h, de T,(T(X)) dans TV@)) (7.6.4), et fait correspondre à une section f de T,(T(X)) une
section hCf) de T(T(X)). Si 5 est un champ de vecteurs sur X, et si f et 6 sont de classe
C', on a 0,. h(f) = h(t9, .f).
Plus généralement, soient T, TI,. . ., rd des foncteurs vectoriels pour les isomorphismes et soit h: (T,, . . . , T ~ )
-+ T un morphisme d-linéaire (7.6.4). Soitf; E 3&,,,,(~)
(pour i = 1, . . . , d), et soit l un champ de vecteurs de classe Cr sur X. On a
Par exemple, si f est une section de T(T(X)) et g une fonction sur X, à valeurs dans
K, toutes deux de classe Cr, on a
Si w, et w, sont deux formes différentielles de classe Cr, à valeurs dans des espaces
de Banach F, et F, respectivement, on a
le produit extérieur étant pris par rapport à une application bilinéaire continue de
F, x F2 dans un espace de Banach F.
8.4.9. Soient T un foncteur vectoriel pour les isomorphismes, contravariant (8.2.7), de
classe Cr, rp: X -+ Y un morphisme de variétés de classe Cr+ l, 4 (resp. un champ de
vecteurs de classe C' sur X (resp. Y) tels que 5 soit plié à q (8.2.6). Pour toute section
f de T(T(Y)), de classe Cr, on a
rpye, .f) = 0, .rp*$
8.5. Le crochet
Soit r E NK et soit X une variété de classe Cr+ l.
8.5.1. Appliquons les définitions du no 8.4 en prenant pour T le foncteur identique:
T(V) = V pour tout espace de Banach V et ~ ( u )
= u pour tout isomorphisme u