tout x E X, la restriction de r1 à la fibre S'(T(X); T(X)), = 2'(Tx(X); T,(X)) soit
égale à 7&, (8.4.1). Si g est une fonction de classe Cr dans X, à valeurs dans K, on a
%, -f = go, -f - T' (dg 63 f ) W
(dans cette formule, on identifie dg @ f, qui est une section de T1(X) @I T e ) , à une
section de 2'(T(X); T(X)); son image /(dg @ f) est une section de 9 ( F ; F) et transforme f en une section de F).
8.4.5. Soient 1 un ouvert de K contenant O, U un ouvert de X et une application
de classe Cr de 1 x U dans X. Pour (t, X) E I x U, on note et,, le vecteur
(1, O) E K x T,(X) = T,,,,(I x U). Pour t E 1, on note qt l'application de U dans X
définie par yt(x) = g~(t, x) (x E U). On suppose que les trois conditions suivantes sont
verifikes :
a) v0 est l'injection canonique de U dans X;
b) pour tout t E T, l'application vt est un isomorphisme de variétés de classe Cr
de U sur un ouvert de X;
C) la section (t, x) H T(t,X)(v)(~t, ,
) du fibré y*T(X) est de classe Cr.
De plus, on pose:
4 5(x) = T(o. X)(P))(&O, x) POUT tout X E UL'application f : x n f(x) est un champ de vecteurs de classe Cr sur U. On dit que
c'est le champ initial (ou de départ) de 9.
Soit T un foncteur vectoriel pour les isomorphismes, de classe Cr; posons
F = T(T(X)) et soit f une section de classe Cr de F sur X. Pour x E U et t E 1, posons
P ) : f (x) = T(T,(P)~) - l ) ( f (vt(x))) ; c'est un élément de F,. L'application t ++ f (x) de
1 dans F, est de classe Cr-l pour tout x E U et l'on a
(2)
d (vtf (x))t = = (Ot .f)(x)
pour tout x E U.
8.4.6. Etant donnés un champ de vecteurs ( de classe Cr sur X et un point xo de X, il
existe un ouvert 1 de K, contenant O, un ouvert U de X contenant xo et une application
v: 1 x U + X de classe Cr satisfaisant aux conditions a), b) et c) de 8.4.5 et telle que
le champ initial de y soit la restriction fIU de 5 à U.
8.4.7. Exemple. - Soient F un espace de Banach et p un entier 2 O. Si V est un espace
de Banach, posons ap(V) = AltP(V; F); si u est un isomorphisme de V sur un espace
de Banach V', désignons par cr,(u) l'isomorphisme de ap(V) sur ap(V1) déduit de u par
transport de structure. On obtient ainsi un foncteur vectoriel pour les isomorphismes,
que l'on note a, (7.8.1 et Errata au no 7.8). On peut lui appliquer ce qui précède; on a
a,(T(X)) = Altp(T(X); F).
Les sections de ap(T(X)) sont les formes différentielles de degré p sur X, à valeurs
dans F; si w est une telle forme et si f est un champ de vecteurs sur X, tous deux de
classe Cr, O,. w est une forme différentielle de degré p sur X, à valeurs dans F et de
classe C'-'. On a
(3)
0,. w = d(i(5) w ) + i(() dw
égale à 7&, (8.4.1). Si g est une fonction de classe Cr dans X, à valeurs dans K, on a
%, -f = go, -f - T' (dg 63 f ) W
(dans cette formule, on identifie dg @ f, qui est une section de T1(X) @I T e ) , à une
section de 2'(T(X); T(X)); son image /(dg @ f) est une section de 9 ( F ; F) et transforme f en une section de F).
8.4.5. Soient 1 un ouvert de K contenant O, U un ouvert de X et une application
de classe Cr de 1 x U dans X. Pour (t, X) E I x U, on note et,, le vecteur
(1, O) E K x T,(X) = T,,,,(I x U). Pour t E 1, on note qt l'application de U dans X
définie par yt(x) = g~(t, x) (x E U). On suppose que les trois conditions suivantes sont
verifikes :
a) v0 est l'injection canonique de U dans X;
b) pour tout t E T, l'application vt est un isomorphisme de variétés de classe Cr
de U sur un ouvert de X;
C) la section (t, x) H T(t,X)(v)(~t, ,
) du fibré y*T(X) est de classe Cr.
De plus, on pose:
4 5(x) = T(o. X)(P))(&O, x) POUT tout X E UL'application f : x n f(x) est un champ de vecteurs de classe Cr sur U. On dit que
c'est le champ initial (ou de départ) de 9.
Soit T un foncteur vectoriel pour les isomorphismes, de classe Cr; posons
F = T(T(X)) et soit f une section de classe Cr de F sur X. Pour x E U et t E 1, posons
P ) : f (x) = T(T,(P)~) - l ) ( f (vt(x))) ; c'est un élément de F,. L'application t ++ f (x) de
1 dans F, est de classe Cr-l pour tout x E U et l'on a
(2)
d (vtf (x))t = = (Ot .f)(x)
pour tout x E U.
8.4.6. Etant donnés un champ de vecteurs ( de classe Cr sur X et un point xo de X, il
existe un ouvert 1 de K, contenant O, un ouvert U de X contenant xo et une application
v: 1 x U + X de classe Cr satisfaisant aux conditions a), b) et c) de 8.4.5 et telle que
le champ initial de y soit la restriction fIU de 5 à U.
8.4.7. Exemple. - Soient F un espace de Banach et p un entier 2 O. Si V est un espace
de Banach, posons ap(V) = AltP(V; F); si u est un isomorphisme de V sur un espace
de Banach V', désignons par cr,(u) l'isomorphisme de ap(V) sur ap(V1) déduit de u par
transport de structure. On obtient ainsi un foncteur vectoriel pour les isomorphismes,
que l'on note a, (7.8.1 et Errata au no 7.8). On peut lui appliquer ce qui précède; on a
a,(T(X)) = Altp(T(X); F).
Les sections de ap(T(X)) sont les formes différentielles de degré p sur X, à valeurs
dans F; si w est une telle forme et si f est un champ de vecteurs sur X, tous deux de
classe Cr, O,. w est une forme différentielle de degré p sur X, à valeurs dans F et de
classe C'-'. On a
(3)
0,. w = d(i(5) w ) + i(() dw