une forme différentiellc sur U (avecf,,, ..., ip E V ( U ; F)). On a alors
8.3.7. Supposons K de caractéristique zéro. Soit w E 'QP(X; F) une forme différentielle de degrép 2 1 telle que dw = O. Pour tout x E X, il existe un voisinage ouvert U
de x et une forme différentielle T E 'QP-l(U; F) tel que d~ = w sur U.
8.4. Transformations infinésimaies
Soient r E Ng et X une variété de classe Cr+ l.
8.4.1. Soit T un foncteur vectoriel pour les isomorphismes (7.6.6), de classe Cr. Si E
est un espace de Banach, on note GL(E) l'ouvert de 9 ( E ; E) constitué par les automorphismes de E. On note TÉ l'application linéaire tangente à l'élément neutre IdE du
morphisme 7: GL(E) - + GL(T(E)); c'est une application linéaire continue de 9 ( E ; E)
dans ~ ( T ( E ) ;
T(E))..
8.4.2. Soit E un espace de Banach et posons F = T(E). Soient U un ouvert de E, 5 un
champ de vecteurs sur U de classe Cr, 2: U -+ E l'application correspondante (obtenue
en identifiant T(U) et U x E (8.1.1)), etf: U -t F une application de classe Cr. Pour
x E U, on définit un élément (B,.f)(x) de F par la formule
(Remarquons que l'on a d'une part &) E E et d, f E Z(E; F), d'où d, f (((x)) E F,
d'autre part, dx$ E 9 ( E ; E), ~&(d,g) E 9 ( F ; F) et f (x) E F, d'oh ~É(d,$)Cf(x)) E F).
La fonction O,. f : x H (8, ,f)(x) est de classe Cr-l dans U.
8.4.3. Notons F le fibré vectoriel T(T(X)) (7.6.2 et 7.6.6). Soient f un champ de vecteurs sur X et f une section de F, tous deux de classe Cr. Soient x un point de X et
c = (U, v, E) une carte de X en x. Soient c' = (U, 5,, E) la carte vectorielle correspondante de T e ) (8.1.1) et ~(c') = (U, 1G,, T(E)) la carte vectorielle correspondante
de F (7.6.2). Posons xc = p(x); soient 5, i'application de v(U) dans E telie que
5,(f(u)) = (u, f,(cp(u))) et fe l'application de q(U) dans T(E) telle que cGcCf(u)) =
(u, f,(q(u))) pour tout u E U. Notons a, l'élément (Occ .fc)(xc) de T(E) défini en 8.4.2. Il
existe un élément a de F, et un seul tel que #c(a) = (x, a,) pour toute carte c de X en x.
On le note (O, .f)(x). Il ne dépend que des germes d.e f et f en x (et même seulement
de leur jet d'ordre 1 (12.1.2)).
L'application 6,. f : x +-+ (8, .f)(x) est une section de classe Cr-l de F; elle dépend
de façon K-bilinéaire du couple ((,fi.
8.4.4. Conservons les hypothèses et notations précédentes. Il existe (7.6.4) un morphisme de fibrés vectoriels T' et un seul de 9(T(X); TOC)) dans 9 ( F ; F) tel que, pour
8.3.7. Supposons K de caractéristique zéro. Soit w E 'QP(X; F) une forme différentielle de degrép 2 1 telle que dw = O. Pour tout x E X, il existe un voisinage ouvert U
de x et une forme différentielle T E 'QP-l(U; F) tel que d~ = w sur U.
8.4. Transformations infinésimaies
Soient r E Ng et X une variété de classe Cr+ l.
8.4.1. Soit T un foncteur vectoriel pour les isomorphismes (7.6.6), de classe Cr. Si E
est un espace de Banach, on note GL(E) l'ouvert de 9 ( E ; E) constitué par les automorphismes de E. On note TÉ l'application linéaire tangente à l'élément neutre IdE du
morphisme 7: GL(E) - + GL(T(E)); c'est une application linéaire continue de 9 ( E ; E)
dans ~ ( T ( E ) ;
T(E))..
8.4.2. Soit E un espace de Banach et posons F = T(E). Soient U un ouvert de E, 5 un
champ de vecteurs sur U de classe Cr, 2: U -+ E l'application correspondante (obtenue
en identifiant T(U) et U x E (8.1.1)), etf: U -t F une application de classe Cr. Pour
x E U, on définit un élément (B,.f)(x) de F par la formule
(Remarquons que l'on a d'une part &) E E et d, f E Z(E; F), d'où d, f (((x)) E F,
d'autre part, dx$ E 9 ( E ; E), ~&(d,g) E 9 ( F ; F) et f (x) E F, d'oh ~É(d,$)Cf(x)) E F).
La fonction O,. f : x H (8, ,f)(x) est de classe Cr-l dans U.
8.4.3. Notons F le fibré vectoriel T(T(X)) (7.6.2 et 7.6.6). Soient f un champ de vecteurs sur X et f une section de F, tous deux de classe Cr. Soient x un point de X et
c = (U, v, E) une carte de X en x. Soient c' = (U, 5,, E) la carte vectorielle correspondante de T e ) (8.1.1) et ~(c') = (U, 1G,, T(E)) la carte vectorielle correspondante
de F (7.6.2). Posons xc = p(x); soient 5, i'application de v(U) dans E telie que
5,(f(u)) = (u, f,(cp(u))) et fe l'application de q(U) dans T(E) telle que cGcCf(u)) =
(u, f,(q(u))) pour tout u E U. Notons a, l'élément (Occ .fc)(xc) de T(E) défini en 8.4.2. Il
existe un élément a de F, et un seul tel que #c(a) = (x, a,) pour toute carte c de X en x.
On le note (O, .f)(x). Il ne dépend que des germes d.e f et f en x (et même seulement
de leur jet d'ordre 1 (12.1.2)).
L'application 6,. f : x +-+ (8, .f)(x) est une section de classe Cr-l de F; elle dépend
de façon K-bilinéaire du couple ((,fi.
8.4.4. Conservons les hypothèses et notations précédentes. Il existe (7.6.4) un morphisme de fibrés vectoriels T' et un seul de 9(T(X); TOC)) dans 9 ( F ; F) tel que, pour