8.3.3. Soit (ul,. . ., un) un système de coordonnées dans l'ouvert U de X. Tout
élément w de kQP(U; F) s'écrit de façon unique
w = 2 Al, ..., i p . d ~ f l
A . - . A dufp
fl<...
est relatif à l'accouplement canonique K, x, Kx + Kx et le point désignant le produit est relatif à l'accouplement canonique F x, Kx + F.
8.3.4. Soient p un entier 2 0 et r un élément de N,. Soient E et F des espaces de
Banach, U un ouvert de E et cr E 'QP(U; F). Soit a E V(U; AltP(E; F)) l'élément correspondant à a. Si x E U , la différentielle d,a de en x (5.5.6) est un élément de
9 ( E ; AltP(E; F)); si t E E, on a (d,Ü)(t) E AltP(E; F), et, si tl, . . . , t p sont dans E, on a
(d,6)(t)(tl, . . ., t,) E F. Il existe un élément da de '-lQP+l (U; F) et un seul tel que
l'on ait
quels que soient x E U et t,, . . ., tp dans E.
8.3.5. Soient p un entier >O et r un élément de N, . Soient X une variété de classe
C+l, F un espace de Banach, et w E ~ Q ~ ( X ;
F). Il existe une forme différentielle
n- E r-lQp+l(X; F) et une seule telle que, pour toute carte c = (U, p, E) de X , si
w, est la forme différentielle sur p(W telle que wlU = p*(w,), on ait ?r, = du,, où
dw, est définie par la formule (5) de 8.3.4.
La forme différentielle 4 s'appelle la diffërentielle extérieure de w ; on la note dw.
Elle jouit des propriétés suivantes:
(6) Si #: Y -t X est un morphisme de variétés de classe Cr+l, et si w E 'Qp(X; F), on
a #*(dw) = d(#*w); en particulier, d commute à l'opération de restriction à une
sous-variété.
(7) Pour p = 0, l'application d: 'QO(X; F) + '-lQ1(X; F) coïncide avec celle
définie en 8.2.2.
(8) Si r 2 2 et si w E 'Qp(X; F), on a d(dw) = O. ' =)
(9) Pour toute application linéaire continue u: F -+ F' d'espaces de Banach, on a
d(u(w)) = u(d(w)) pour w E rQp(U; F).
(10) Pour toute application bilinéaire continue F' x F" 4 F d'espaces de Banach,
on a
d(w' A w") = (dw') A w" + (- l ) P ' ~ '
A dw"
pour w' E 'Qp'(X; FI) et w" E 'BP"(X; F").
8.3.6. Soit (ul, . . . , un) un système de coordonnées de X dans U. Soit
Le signe * indique que le symbole qu'il surmonte doit être omis (cf. 7.8.4).
Si w E IQp(X; F) et si do E lQP+l(X; F), on a encore d(do) = 0.
élément w de kQP(U; F) s'écrit de façon unique
w = 2 Al, ..., i p . d ~ f l
A . - . A dufp
fl<...
est relatif à l'accouplement canonique K, x, Kx + Kx et le point désignant le produit est relatif à l'accouplement canonique F x, Kx + F.
8.3.4. Soient p un entier 2 0 et r un élément de N,. Soient E et F des espaces de
Banach, U un ouvert de E et cr E 'QP(U; F). Soit a E V(U; AltP(E; F)) l'élément correspondant à a. Si x E U , la différentielle d,a de en x (5.5.6) est un élément de
9 ( E ; AltP(E; F)); si t E E, on a (d,Ü)(t) E AltP(E; F), et, si tl, . . . , t p sont dans E, on a
(d,6)(t)(tl, . . ., t,) E F. Il existe un élément da de '-lQP+l (U; F) et un seul tel que
l'on ait
quels que soient x E U et t,, . . ., tp dans E.
8.3.5. Soient p un entier >O et r un élément de N, . Soient X une variété de classe
C+l, F un espace de Banach, et w E ~ Q ~ ( X ;
F). Il existe une forme différentielle
n- E r-lQp+l(X; F) et une seule telle que, pour toute carte c = (U, p, E) de X , si
w, est la forme différentielle sur p(W telle que wlU = p*(w,), on ait ?r, = du,, où
dw, est définie par la formule (5) de 8.3.4.
La forme différentielle 4 s'appelle la diffërentielle extérieure de w ; on la note dw.
Elle jouit des propriétés suivantes:
(6) Si #: Y -t X est un morphisme de variétés de classe Cr+l, et si w E 'Qp(X; F), on
a #*(dw) = d(#*w); en particulier, d commute à l'opération de restriction à une
sous-variété.
(7) Pour p = 0, l'application d: 'QO(X; F) + '-lQ1(X; F) coïncide avec celle
définie en 8.2.2.
(8) Si r 2 2 et si w E 'Qp(X; F), on a d(dw) = O. ' =)
(9) Pour toute application linéaire continue u: F -+ F' d'espaces de Banach, on a
d(u(w)) = u(d(w)) pour w E rQp(U; F).
(10) Pour toute application bilinéaire continue F' x F" 4 F d'espaces de Banach,
on a
d(w' A w") = (dw') A w" + (- l ) P ' ~ '
A dw"
pour w' E 'Qp'(X; FI) et w" E 'BP"(X; F").
8.3.6. Soit (ul, . . . , un) un système de coordonnées de X dans U. Soit
Le signe * indique que le symbole qu'il surmonte doit être omis (cf. 7.8.4).
Si w E IQp(X; F) et si do E lQP+l(X; F), on a encore d(do) = 0.