8.3. Formes diférentielles, dférentiation extérieure
Rappelons que, dans ce numéro et les suivants, on suppose, ou bien que K est de
caractéristique 0, ou bien que les variétés considérées sont localement de dimension
finie.
8.3.1. Soient X une variété de classe Cr et F un fibré vectoriel de classe Ck de base X,
avec k + 1 E N, et k -t 1 < r. Soit p un entier 20 et soit AltP(T(X); F) le fibré
vectoriel de classe Ck des applications p-linéaires alternées de T(X) dans F (7.8.1 et
Errata au no 7.8). Une section de ce fibré au-dessus d'un ouvert U de X s'appelle une
forme différentielle alternée (ou simplement forme différentielle) de degré p sur U, à
valeurs dans F. Celles de ces sections qui sont de classe Ck forment un Vk(U)-module,
noté kQp(U; F). Si E est un espace de Banach, on écrit kSZp(U; E) au lieu de "QP(U; Ex)
et on parle de formes différentielles à valeurs dans E. Dans ces notations, on omet
parfois k (resp. E) lorsqu'il est égal à r - 1 (resp. K).
Une forme différentielle de degré O (resp. 1) à valeurs scalaires est une fonction
(resp. un champ de covecteurs).
Soit rp: Y + X un morphisme de variétés de classe Cr, et soit w E k!2p(X; F). Il
existe alors une forme p*w E kQp(Y; rp*F) et une seule telle que
pour tout y E Y et toute famille vl, . . . , vp d'éléments de Ty(Y).
Si $: Z + Y est un morphisme de variétés de classe Cr, on a
Lorsque Y est une sous-variété de X et que p, est l'injection canonique, on écrit
parfois wlY au lieu de q~*w et l'on dit que wlY est induite sur Y par W .
8.3.2. Les définitions et résultats du no 7.8 s'appliquent aux formes différentielles. En
particulier, un accouplement de fibrés vectoriels F' x , Fn -t F donne naissance à un
produit extérieur kQP'(U; F) x kSZP"(U; F") -t &QP(U; F), où p = p' + p" (7.8.2); on
le note (or, w") H W' A w". La somme directe des "QP(U; K) pour p 2 O est ainsi
munie d'une structure d'algèbre graduée associative et alternée (A, III, p. 53).
Soient 5 un champ de vecteurs sur X et w une forme différentielle de degré p 2 1
sur X, à valeurs dans un fibré vectoriel F; le produit intérieur de f et w est la forme
différentielle i(5, w) de degré p - 1 sur X, à valeurs dans F, définie par
pour tout x E X et toute famille v,, . . . , vp- d'éléments de T,(X). Si w est une forme
différentielle de degré 0, on pose i(f, w) = O. On écrit également i(8w ou itw à la
place de i(t9 w). Lorsque F = Kx, la définition donnée ci-dessus coïncide avec celle
de 7.8.4.
Soit F' x , F" + F un accouplement de fibrés vectoriels. Pour w' E kQP'(U; Fr) et
w" E kQp"(U; F"), on a
(4)
i(5)(wr A O") = (i(5)wt) A wn + (-l)P'w' A i(f)wD.
Rappelons que, dans ce numéro et les suivants, on suppose, ou bien que K est de
caractéristique 0, ou bien que les variétés considérées sont localement de dimension
finie.
8.3.1. Soient X une variété de classe Cr et F un fibré vectoriel de classe Ck de base X,
avec k + 1 E N, et k -t 1 < r. Soit p un entier 20 et soit AltP(T(X); F) le fibré
vectoriel de classe Ck des applications p-linéaires alternées de T(X) dans F (7.8.1 et
Errata au no 7.8). Une section de ce fibré au-dessus d'un ouvert U de X s'appelle une
forme différentielle alternée (ou simplement forme différentielle) de degré p sur U, à
valeurs dans F. Celles de ces sections qui sont de classe Ck forment un Vk(U)-module,
noté kQp(U; F). Si E est un espace de Banach, on écrit kSZp(U; E) au lieu de "QP(U; Ex)
et on parle de formes différentielles à valeurs dans E. Dans ces notations, on omet
parfois k (resp. E) lorsqu'il est égal à r - 1 (resp. K).
Une forme différentielle de degré O (resp. 1) à valeurs scalaires est une fonction
(resp. un champ de covecteurs).
Soit rp: Y + X un morphisme de variétés de classe Cr, et soit w E k!2p(X; F). Il
existe alors une forme p*w E kQp(Y; rp*F) et une seule telle que
pour tout y E Y et toute famille vl, . . . , vp d'éléments de Ty(Y).
Si $: Z + Y est un morphisme de variétés de classe Cr, on a
Lorsque Y est une sous-variété de X et que p, est l'injection canonique, on écrit
parfois wlY au lieu de q~*w et l'on dit que wlY est induite sur Y par W .
8.3.2. Les définitions et résultats du no 7.8 s'appliquent aux formes différentielles. En
particulier, un accouplement de fibrés vectoriels F' x , Fn -t F donne naissance à un
produit extérieur kQP'(U; F) x kSZP"(U; F") -t &QP(U; F), où p = p' + p" (7.8.2); on
le note (or, w") H W' A w". La somme directe des "QP(U; K) pour p 2 O est ainsi
munie d'une structure d'algèbre graduée associative et alternée (A, III, p. 53).
Soient 5 un champ de vecteurs sur X et w une forme différentielle de degré p 2 1
sur X, à valeurs dans un fibré vectoriel F; le produit intérieur de f et w est la forme
différentielle i(5, w) de degré p - 1 sur X, à valeurs dans F, définie par
pour tout x E X et toute famille v,, . . . , vp- d'éléments de T,(X). Si w est une forme
différentielle de degré 0, on pose i(f, w) = O. On écrit également i(8w ou itw à la
place de i(t9 w). Lorsque F = Kx, la définition donnée ci-dessus coïncide avec celle
de 7.8.4.
Soit F' x , F" + F un accouplement de fibrés vectoriels. Pour w' E kQP'(U; Fr) et
w" E kQp"(U; F"), on a
(4)
i(5)(wr A O") = (i(5)wt) A wn + (-l)P'w' A i(f)wD.