no 2
LE CALCUL DIFFÉRENTIEL D'ORDRE 1
11
continue de E x F dans G. Soient f E %'(X; E), g E V(X; F) et soit f .g E Wr(X; G)
leur produit. Si 5 est un champ de vecteurs de classe C-l sur X, on a
D,Cf-g) = D , O .g + f. D,(g)En particulier, l'application D,: W(X) -t W-l(X) est une dérivation de l'algèbre
V(X) dans le Vr(X)-module Wr-l(X).
8.2.4. Supposons que X soit localement de diinension $nie et que l'une des deux
hypothèses suivantes soit véritiée:
(i) r = m et X est séparée;
(ii) r = w et X est isomorphe à un polydisque ouvert de Kn.
Alors, pour toute dérivation D de l'algèbre Vr(X), il existe un champ de vecteurs
f de classe Cr et un seul tel que D = D,.
8.2.5. Soient (ul,. . ., un) un système de coordonnées de X dans U, et 5 un champ de
vecteurs sur U. La i-ième coordonnée de 6 dans le repère tangent (8.1.5) défini par
(ul, . . ., un) est D,(ui). Autrement dit, on a
8.2.6. Soient p: X -+ Y un morphisme de variétés de classe Cr, 6 un champ de vecteurs sur X et 7 un champ de vecteurs sur Y. On dit que 5 est p-lié à 7 si, pour tout
x E X, on a q(p(x)) = T,(tp)(&x)). Supposons qu'il en soit ainsi, et que 5 et 7 soient
de classe Cr-l. Alors, pour tout espace de Banach E, le diagramme
où p * w = f 0 y, est commutatif.
I'
Lorsque p est étale, pour tout champ de vecteurs 7 sur Y, il existe un champ de
vecteurs et un seul sur X qui est y-lié à 7 ; on le note p*?.
8.2.7. Soit p: X -+ Y un morphisme de variétés de classe Cr. Si w est un champ de
covecteurs(l) sur Y, on définit un champ de covecteurs p*w sur X par
(p*w)(x) = "Tx(d)(w(?J(x))) (x E W.
Plus généralement, soit T un foncteur vectoriel (7.6) de classe Cr-l, de type
(1 +, 1 -) avec 1, = % et 1 - réduit à un élément (un tel foncteur est dit contravariant).
Si w est une section de classe Cr-l du fibré vectoriel T(T(Y)) de base Y, on définit une
section tp*w de T(T(X)) par (tp*w)(x) = ~(T,(p))(w(p(x))) (x E X).
l Le lecteur aura soin de ne pas confondre cet emploi de la lettre w avec celui défini dans les
Notations et Conventions.
LE CALCUL DIFFÉRENTIEL D'ORDRE 1
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continue de E x F dans G. Soient f E %'(X; E), g E V(X; F) et soit f .g E Wr(X; G)
leur produit. Si 5 est un champ de vecteurs de classe C-l sur X, on a
D,Cf-g) = D , O .g + f. D,(g)En particulier, l'application D,: W(X) -t W-l(X) est une dérivation de l'algèbre
V(X) dans le Vr(X)-module Wr-l(X).
8.2.4. Supposons que X soit localement de diinension $nie et que l'une des deux
hypothèses suivantes soit véritiée:
(i) r = m et X est séparée;
(ii) r = w et X est isomorphe à un polydisque ouvert de Kn.
Alors, pour toute dérivation D de l'algèbre Vr(X), il existe un champ de vecteurs
f de classe Cr et un seul tel que D = D,.
8.2.5. Soient (ul,. . ., un) un système de coordonnées de X dans U, et 5 un champ de
vecteurs sur U. La i-ième coordonnée de 6 dans le repère tangent (8.1.5) défini par
(ul, . . ., un) est D,(ui). Autrement dit, on a
8.2.6. Soient p: X -+ Y un morphisme de variétés de classe Cr, 6 un champ de vecteurs sur X et 7 un champ de vecteurs sur Y. On dit que 5 est p-lié à 7 si, pour tout
x E X, on a q(p(x)) = T,(tp)(&x)). Supposons qu'il en soit ainsi, et que 5 et 7 soient
de classe Cr-l. Alors, pour tout espace de Banach E, le diagramme
où p * w = f 0 y, est commutatif.
I'
Lorsque p est étale, pour tout champ de vecteurs 7 sur Y, il existe un champ de
vecteurs et un seul sur X qui est y-lié à 7 ; on le note p*?.
8.2.7. Soit p: X -+ Y un morphisme de variétés de classe Cr. Si w est un champ de
covecteurs(l) sur Y, on définit un champ de covecteurs p*w sur X par
(p*w)(x) = "Tx(d)(w(?J(x))) (x E W.
Plus généralement, soit T un foncteur vectoriel (7.6) de classe Cr-l, de type
(1 +, 1 -) avec 1, = % et 1 - réduit à un élément (un tel foncteur est dit contravariant).
Si w est une section de classe Cr-l du fibré vectoriel T(T(Y)) de base Y, on définit une
section tp*w de T(T(X)) par (tp*w)(x) = ~(T,(p))(w(p(x))) (x E X).
l Le lecteur aura soin de ne pas confondre cet emploi de la lettre w avec celui défini dans les
Notations et Conventions.