l'unique X-morphisme tel que TCf) = g 0 f', où g est le morphisme canonique
f *T(Y) -t T(Y) (cf. 7.2.4).
Pour que f soit une immersion (resp. une submersion), il faut et il suffit que
O -t T G ) 5 f *TOI) (resp. T e ) 2 f *T(Y) + O) soit une suite exacte localement
directe (7.5.6). Si f est une immersion, le fibré conoyau de f' est appelé fibré normal
ou transverse de$ Si f est une submersion, le fibré noyau de f est appelé fibré tangent
auxfibres def, ou fibré tangent relatifde X sur Y, et noté T(X/Y). Sa fibre T,(X/Y) en
x E X est l'espace tangent en x à la sous-variété f -'(f(x)) de X. La suite
où i est l'injection canonique, est exacte.
Pour que f soit étale, il faut et il suffit que f ' soit un isomorphisme.
Lorsque K est de caractéristique 0, pour que f soit une subimmersio~z, il faut et il
suffit que f' soit localement direct.
8.1.4. Soient X1 et X2 deux variétés. On a T(Xl x X,) = PTT@,) O p;T(X,), où
pl et pz sont les projections canoniques (5.6.3).
8.1.5. Soit n un entier 20; le fibré tangent T(Kn) de Kn s'identifie au fibré trivial de
fibre Kn (8.1.1). Les sections constantes définies par les éléments de la base canonique
de Kn forment un repère de T(Kn).
Si X est une variété et (ul, . . . , un) un système de coordonnées de X dans un ouvert
U de X (5.1.10), le repère précédent définit par transport de structure un repère de
T e ) sur U; on rappelle le repère tangent défini par (ul, . . . , un) et on le note
(alau1, . . . , a/aun) (cf. 5.5.8).
8.2. Champs & necteurs
Soit X une variété de classe Cr, et soit U un ouvert de X.
8.2.1. Une section (non nécessairement continue, cf. Notations et Conventions) du
fibré tangent T e ) au-dessus de U s'appelle un champ de vecteurs sur U.
8.2.2. Le fibré dual T'(X) (7.7.3) de T(X) s'appelle lefibré cotangent de X. Ses sections
s'appellent champs de covecteurs. Si f est une fonction de classe Ck sur X
(avec 1 < k < r), à valeurs dans K, sa d~yérentielle df: x - d, f (5.5.6) est un champ de
covecteurs de classe CL-l. Plus généralement, si f est une fonction de classe Ck sur
X (1 < k < r), à valeurs dans un espace de Banach E, sa différentielle df est une
section de classe Ck-1 du fibré -!?(Tm);
Ex).
8.2.3. Soit 5 un champ de vecteurs de classe Cr-l sur X, et soit f E VT(X; F) une fonction de classe Cr à valeurs dans un espace de Banach F. On note (.$, df), ou D,(f), ou
encore .$Cf) la fonction x - d, f(.$(x)); c'est un élément de %Pd'@; F). Pour f fixée,
i'application 5 - D,Cf) est 'V-'(X)-linéaire. Si D J = O pour toute fonction f de
classe Cr à valeurs dans un espace de Banach, définie dans un ouvert de X, on a 5 = 0.
Soient E, F, G des espaces de Banach et soit (u, v) - u. v une application bilinéaire
f *T(Y) -t T(Y) (cf. 7.2.4).
Pour que f soit une immersion (resp. une submersion), il faut et il suffit que
O -t T G ) 5 f *TOI) (resp. T e ) 2 f *T(Y) + O) soit une suite exacte localement
directe (7.5.6). Si f est une immersion, le fibré conoyau de f' est appelé fibré normal
ou transverse de$ Si f est une submersion, le fibré noyau de f est appelé fibré tangent
auxfibres def, ou fibré tangent relatifde X sur Y, et noté T(X/Y). Sa fibre T,(X/Y) en
x E X est l'espace tangent en x à la sous-variété f -'(f(x)) de X. La suite
où i est l'injection canonique, est exacte.
Pour que f soit étale, il faut et il suffit que f ' soit un isomorphisme.
Lorsque K est de caractéristique 0, pour que f soit une subimmersio~z, il faut et il
suffit que f' soit localement direct.
8.1.4. Soient X1 et X2 deux variétés. On a T(Xl x X,) = PTT@,) O p;T(X,), où
pl et pz sont les projections canoniques (5.6.3).
8.1.5. Soit n un entier 20; le fibré tangent T(Kn) de Kn s'identifie au fibré trivial de
fibre Kn (8.1.1). Les sections constantes définies par les éléments de la base canonique
de Kn forment un repère de T(Kn).
Si X est une variété et (ul, . . . , un) un système de coordonnées de X dans un ouvert
U de X (5.1.10), le repère précédent définit par transport de structure un repère de
T e ) sur U; on rappelle le repère tangent défini par (ul, . . . , un) et on le note
(alau1, . . . , a/aun) (cf. 5.5.8).
8.2. Champs & necteurs
Soit X une variété de classe Cr, et soit U un ouvert de X.
8.2.1. Une section (non nécessairement continue, cf. Notations et Conventions) du
fibré tangent T e ) au-dessus de U s'appelle un champ de vecteurs sur U.
8.2.2. Le fibré dual T'(X) (7.7.3) de T(X) s'appelle lefibré cotangent de X. Ses sections
s'appellent champs de covecteurs. Si f est une fonction de classe Ck sur X
(avec 1 < k < r), à valeurs dans K, sa d~yérentielle df: x - d, f (5.5.6) est un champ de
covecteurs de classe CL-l. Plus généralement, si f est une fonction de classe Ck sur
X (1 < k < r), à valeurs dans un espace de Banach E, sa différentielle df est une
section de classe Ck-1 du fibré -!?(Tm);
Ex).
8.2.3. Soit 5 un champ de vecteurs de classe Cr-l sur X, et soit f E VT(X; F) une fonction de classe Cr à valeurs dans un espace de Banach F. On note (.$, df), ou D,(f), ou
encore .$Cf) la fonction x - d, f(.$(x)); c'est un élément de %Pd'@; F). Pour f fixée,
i'application 5 - D,Cf) est 'V-'(X)-linéaire. Si D J = O pour toute fonction f de
classe Cr à valeurs dans un espace de Banach, définie dans un ouvert de X, on a 5 = 0.
Soient E, F, G des espaces de Banach et soit (u, v) - u. v une application bilinéaire