8 8. Le calcul différentiel d'ordre 1
A partir du no 8.3, on suppose
- soit que K est de caractéristique zéro,
- soit que les variétés considérées sont localement de dimension finie.
Dans ce dernier cas, les expressions (( espace de Banach, fibré vectoriel, foncteur
vectoriel )) signifient respectivement (< espace vectoriel de dimension finie, fibré vectoriel
de rang fini, foncteur vectoriel en dimension finie à valeurs de dimension finie )>.
8.1. Fibré tangent
8.1.1. Soit r E NK et soit X une K-variété de classe Cr. On note T G ) l'ensemble somme
des espaces tangents T,(X) (5.5.1) pour x E X, et T l'application canonique de T G )
sur X. Soit c = (U, q, E) une carte de la variété X; pour x IZ U et t E T,(X), posons
C,(x, t) = (x, eel(t)), l'application 8, étant celle définie en 5.5.1. Le triplet
c' = (U, <, , E) est une carte vectorielle (7.1.1) de T(X) (muni de l'application
T : T(X) -t X). Il existe sur T(X) une structure de fibré vectoriel de base X et de classe
Cr-l et une seule, telle que, pour toute carte c de X, la carte vectorielle c' correspondante soit une carte vectorielle de T(X)(ll. Muni de cette structure, T(X) est appelé
le fibré tangent de X. En particulier, T G ) est muni d'une structure de variété de
classe Cr-l et le triplet (T(X), X, m) est unejibration (7.1.4).
Soit U un ouvert d'un espace de Banach E et soit i l'injection canonique de U dans
E. La carte vectorielle c' = (U, 5,, E) associée à la carte c = (U, i, E) de U définit un
isomorphisme de T(U) sur le Jibré trivial Eu (7.1.5); on identifie ces deux fibrés au
moyen de cet isomorphisme.
Si X est une variété pure de type E (5.1.7), T(X) est une variété pure de type E x E.
8.1.2. Soitf: X -t Y un morphisme de variétés de classe Cr. On définit unf-morphisme
T(f): T m ) -t T(Y) de fibrés vectoriels de classe Cr -l par TCf)(x, t) = Cf(x), T,(f)(t))
pour x E X et t E T,(X).
Si f = Id,, on a TCf) = IdT(,. Pour f: X -+ Y et g: Y -+ Z, on a T(g o n =
T(g) O T W -
8.1.3. Soitf: X -t Y un morphisme de variétés de classe Cr, et soit f' : T(X) -+ f *TOI)
l Lorsque K = R et r = 1, T(X) est un firé vectoriel topologique (cf. Notations et conventions).
A partir du no 8.3, on suppose
- soit que K est de caractéristique zéro,
- soit que les variétés considérées sont localement de dimension finie.
Dans ce dernier cas, les expressions (( espace de Banach, fibré vectoriel, foncteur
vectoriel )) signifient respectivement (< espace vectoriel de dimension finie, fibré vectoriel
de rang fini, foncteur vectoriel en dimension finie à valeurs de dimension finie )>.
8.1. Fibré tangent
8.1.1. Soit r E NK et soit X une K-variété de classe Cr. On note T G ) l'ensemble somme
des espaces tangents T,(X) (5.5.1) pour x E X, et T l'application canonique de T G )
sur X. Soit c = (U, q, E) une carte de la variété X; pour x IZ U et t E T,(X), posons
C,(x, t) = (x, eel(t)), l'application 8, étant celle définie en 5.5.1. Le triplet
c' = (U, <, , E) est une carte vectorielle (7.1.1) de T(X) (muni de l'application
T : T(X) -t X). Il existe sur T(X) une structure de fibré vectoriel de base X et de classe
Cr-l et une seule, telle que, pour toute carte c de X, la carte vectorielle c' correspondante soit une carte vectorielle de T(X)(ll. Muni de cette structure, T(X) est appelé
le fibré tangent de X. En particulier, T G ) est muni d'une structure de variété de
classe Cr-l et le triplet (T(X), X, m) est unejibration (7.1.4).
Soit U un ouvert d'un espace de Banach E et soit i l'injection canonique de U dans
E. La carte vectorielle c' = (U, 5,, E) associée à la carte c = (U, i, E) de U définit un
isomorphisme de T(U) sur le Jibré trivial Eu (7.1.5); on identifie ces deux fibrés au
moyen de cet isomorphisme.
Si X est une variété pure de type E (5.1.7), T(X) est une variété pure de type E x E.
8.1.2. Soitf: X -t Y un morphisme de variétés de classe Cr. On définit unf-morphisme
T(f): T m ) -t T(Y) de fibrés vectoriels de classe Cr -l par TCf)(x, t) = Cf(x), T,(f)(t))
pour x E X et t E T,(X).
Si f = Id,, on a TCf) = IdT(,. Pour f: X -+ Y et g: Y -+ Z, on a T(g o n =
T(g) O T W -
8.1.3. Soitf: X -t Y un morphisme de variétés de classe Cr, et soit f' : T(X) -+ f *TOI)
l Lorsque K = R et r = 1, T(X) est un firé vectoriel topologique (cf. Notations et conventions).