8.8.8. Supposons r = w ; toute structure presque complexe de classe Cm sur X
satisfaisant aux conditions équivalentes (i) à (iii) de 8.8.5 est la structure presque complexe définie par une structure de variété analytique complexe et une seule sur X.'l)
8.8.9 (4 Formes holomorphes ))). Reprenons les hypothèses et notations de 8.8.6, et
soit F un espace de Banach complexe. Les formes différentielles morphiques (autrement dit analytiques complexes) sur Xc, à valeurs dans F, sont encore appelées formes
différentielles holomorphes; l'identification de T(X") à T(X) les identifie à des formes
différentielles (analytiques réelles) sur X. Pour qu'une forme différentielle w de degrép
sur X, à valeurs dans F et de classe Ck avec k > 1, soit holomorphe, il faut et il suffit
qu'elle soit de type (p, O) et que dnw = 0.
Soit t un champ de vecteurs sur X. On dit que [est holomorphe si c'est une application analytique complexe de Xc dans T ( m = T(X), autrement dit un champ de
vecteurs analytique complexe s u Xc. Si tel est le cas, et si w est une forme différentielle
holomorphe sur X à valeurs dans F, la forme 0,. w (resp. i(f)w) est la même, que Son
considère [ comme champ de vecteurs analytique complexe sur Xc et w comme un
élément de Qp(X"; F), ou [ comme un champ de vecteurs sur X et w comme un
élément de QP(X; F). De plus, soient , $' = TI([)
et f" = ~ " ( 5 )
les composantes de
[ dans T'(X) et T"(X) respectivement (8.8.3); on a
8.8.10. Exemple. - Supposons que Xe soit un ouvert de Cn et notons zl, . . ., zn les
fonctions coordonnées sur Xc. Pour 1 < k < n, posons zk = X + ip, OU xk et yk
sont à valeurs réelles. Considérons le repère tangent (a/azk) de T(X") défini par le
système de coordonnées (zk) et le repère tangent (a/a2, a/ayk) de Tm) défini par le
système de coordonnées (xk, yk) (8.1.5). On a j(a/axk) = a/ayk et l'image de a/azk par
l'application T': T G ) = T F ) -+ Tr(X) (8.8.3) est égale à
q(aJaxk - i a/ayk) ;
on la note encore en général û / a ~ ~ . ( ~ )
Le champ de vecteurs complexe conjugué de
ce champ ô/azk est noté a/aTk; on a
Si f est une fonction de classe C1 sur X, à valeurs dans un espace de Banach complexe F, les formes différentielles d'fet d"f(8.8.5) sont données par
Si X est de dimension finie, ceci reste vrai pour une structure presque complexe de classe Ck
avec k 2 dim X (cf. A. NEWLANDER and L. NIRENBERG, Complexanaiytic coordinates in almost
complex manifolds, Ann. of Math. LXV (1957), p. 391-404).
c2) On prendra garde que i'identification canonique de T(Xe) avec T(X) ne transforme pas le champ
de vecteurs a/azk sur Xc en le champ de vecteurs a/ôzk sur X, mais en le champ de vecteurs
a/azk + a/8.Fk. Cependant, les deux champs de vecteurs notés a/azk prennent la même valeur sur
les formes différentielles holomorphes (8.8.9), qui sont d'ailleurs les seules auxquelles l'on puisse
appliquer un champ de vecteurs de Xe.
satisfaisant aux conditions équivalentes (i) à (iii) de 8.8.5 est la structure presque complexe définie par une structure de variété analytique complexe et une seule sur X.'l)
8.8.9 (4 Formes holomorphes ))). Reprenons les hypothèses et notations de 8.8.6, et
soit F un espace de Banach complexe. Les formes différentielles morphiques (autrement dit analytiques complexes) sur Xc, à valeurs dans F, sont encore appelées formes
différentielles holomorphes; l'identification de T(X") à T(X) les identifie à des formes
différentielles (analytiques réelles) sur X. Pour qu'une forme différentielle w de degrép
sur X, à valeurs dans F et de classe Ck avec k > 1, soit holomorphe, il faut et il suffit
qu'elle soit de type (p, O) et que dnw = 0.
Soit t un champ de vecteurs sur X. On dit que [est holomorphe si c'est une application analytique complexe de Xc dans T ( m = T(X), autrement dit un champ de
vecteurs analytique complexe s u Xc. Si tel est le cas, et si w est une forme différentielle
holomorphe sur X à valeurs dans F, la forme 0,. w (resp. i(f)w) est la même, que Son
considère [ comme champ de vecteurs analytique complexe sur Xc et w comme un
élément de Qp(X"; F), ou [ comme un champ de vecteurs sur X et w comme un
élément de QP(X; F). De plus, soient , $' = TI([)
et f" = ~ " ( 5 )
les composantes de
[ dans T'(X) et T"(X) respectivement (8.8.3); on a
8.8.10. Exemple. - Supposons que Xe soit un ouvert de Cn et notons zl, . . ., zn les
fonctions coordonnées sur Xc. Pour 1 < k < n, posons zk = X + ip, OU xk et yk
sont à valeurs réelles. Considérons le repère tangent (a/azk) de T(X") défini par le
système de coordonnées (zk) et le repère tangent (a/a2, a/ayk) de Tm) défini par le
système de coordonnées (xk, yk) (8.1.5). On a j(a/axk) = a/ayk et l'image de a/azk par
l'application T': T G ) = T F ) -+ Tr(X) (8.8.3) est égale à
q(aJaxk - i a/ayk) ;
on la note encore en général û / a ~ ~ . ( ~ )
Le champ de vecteurs complexe conjugué de
ce champ ô/azk est noté a/aTk; on a
Si f est une fonction de classe C1 sur X, à valeurs dans un espace de Banach complexe F, les formes différentielles d'fet d"f(8.8.5) sont données par
Si X est de dimension finie, ceci reste vrai pour une structure presque complexe de classe Ck
avec k 2 dim X (cf. A. NEWLANDER and L. NIRENBERG, Complexanaiytic coordinates in almost
complex manifolds, Ann. of Math. LXV (1957), p. 391-404).
c2) On prendra garde que i'identification canonique de T(Xe) avec T(X) ne transforme pas le champ
de vecteurs a/azk sur Xc en le champ de vecteurs a/ôzk sur X, mais en le champ de vecteurs
a/azk + a/8.Fk. Cependant, les deux champs de vecteurs notés a/azk prennent la même valeur sur
les formes différentielles holomorphes (8.8.9), qui sont d'ailleurs les seules auxquelles l'on puisse
appliquer un champ de vecteurs de Xe.