Dualité
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classiques, on a pour cette base :
(18)
Supposons maintenant que nous fassions varier marginalement les ressources . Posons
La relation (18) ne dépendant pas de
reste l'ensemble d'indices de base
optimal, si les variables de base restent non négatives, ce qui est toujours possible pour
suffisamment petit et s'il n'y a pas de dégénérescence, c'est-à-dire de variables de
base nulles à l'optimum du programme linéaire initial.
La valeur de la fonction économique, qui était
, devient
.
D'où, si
est la variation de la fonction économique
Or, on a vu que, si est l'ensemble de base optimal dans le primal, le vecteur
donnait les valeurs des variables principales à l'optimum du dual, d'où
Si
, on a donc
(19)
Donc, à l'optimum du dual, la variable principale attachée à la 1
ère contrainte du primal
est égale à la variation de la fonction économique optimale du primal lorsque l'on
augmente d'une unité la quantité de la ressource .
Deux cas sont à considérer :
a) hors base dans le dual, donc nul, alors
. La variable d'écart correspondante
dans le primal est de base et positive, ce qui signifie que la contrainte à laquelle est
associée cette variable d'écart est non saturée à l'optimum. Il est donc normal qu'un
variation marginale de la quantité de ressource donne une variation nulle de la fonction
économique, puisque pour le sommet optimal, la
contrainte ne joue aucun rôle.
b)
de base à l'optimum du dual et donc positif; alors
. La contrainte
correspondante du primal (la
) est saturée et mesure la variation de consécutive
à une variation d'une unité de la ressource .
C'est en ce sens que
peut être compris comme un prix. En effet, si l'entreprise se pose
la question de savoir si une augmentation de la quantité de la ressource peut être
intéressante ou non, elle sera amenée à comparer le bénéfice qu'elle en retire (mesuré
marginalement par
) au coût de cette acquisition. Si le prix sur le marché
d'une unité du bien est supérieur à , l'opération n'est pas rentable pour l'entreprise;
elle l'est si, au contraire, ce prix est inférieur à .
, valeur à l'optimum de la variable duale associée à la contrainte mesure donc le prix
maximum auquel l'entreprise peut acquérir une unité du bien pour augmenter son
profit.
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classiques, on a pour cette base :
(18)
Supposons maintenant que nous fassions varier marginalement les ressources . Posons
La relation (18) ne dépendant pas de
reste l'ensemble d'indices de base
optimal, si les variables de base restent non négatives, ce qui est toujours possible pour
suffisamment petit et s'il n'y a pas de dégénérescence, c'est-à-dire de variables de
base nulles à l'optimum du programme linéaire initial.
La valeur de la fonction économique, qui était
, devient
.
D'où, si
est la variation de la fonction économique
Or, on a vu que, si est l'ensemble de base optimal dans le primal, le vecteur
donnait les valeurs des variables principales à l'optimum du dual, d'où
Si
, on a donc
(19)
Donc, à l'optimum du dual, la variable principale attachée à la 1
ère contrainte du primal
est égale à la variation de la fonction économique optimale du primal lorsque l'on
augmente d'une unité la quantité de la ressource .
Deux cas sont à considérer :
a) hors base dans le dual, donc nul, alors
. La variable d'écart correspondante
dans le primal est de base et positive, ce qui signifie que la contrainte à laquelle est
associée cette variable d'écart est non saturée à l'optimum. Il est donc normal qu'un
variation marginale de la quantité de ressource donne une variation nulle de la fonction
économique, puisque pour le sommet optimal, la
contrainte ne joue aucun rôle.
b)
de base à l'optimum du dual et donc positif; alors
. La contrainte
correspondante du primal (la
) est saturée et mesure la variation de consécutive
à une variation d'une unité de la ressource .
C'est en ce sens que
peut être compris comme un prix. En effet, si l'entreprise se pose
la question de savoir si une augmentation de la quantité de la ressource peut être
intéressante ou non, elle sera amenée à comparer le bénéfice qu'elle en retire (mesuré
marginalement par
) au coût de cette acquisition. Si le prix sur le marché
d'une unité du bien est supérieur à , l'opération n'est pas rentable pour l'entreprise;
elle l'est si, au contraire, ce prix est inférieur à .
, valeur à l'optimum de la variable duale associée à la contrainte mesure donc le prix
maximum auquel l'entreprise peut acquérir une unité du bien pour augmenter son
profit.