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Recherche opérationnelle
Donc, si est la base correspondant à l'optimum de
,
est solution
réalisable de (II).
Par ailleurs, pour la base optimale de
, la fonction
est maximale et égale à
Quant à la valeur de la fonction économique du dual, pour la solution réalisable
, elle est
On a donc :
Le résultat (4) donne aussitôt :
(10)
Le théorème (II) est donc démontré : à l'optimum des deux programmes, les valeurs des
fonctions économiques sont égales.
Pour passer aux théorèmes suivants, nous allons supposer que, pour le programme dual
(II), nous ne minimisons plus
mais que nous maximisons
.
Dans ces conditions, un corollaire du théorème précédent est : la valeur optimale de la
fonction économique du programme (I) est égale à l'opposé de la valeur optimale de la
fonction économique
du programme dual (II).
Théorème III : à l'optimum des deux programmes, la valeur d'une variable
principale du programme dual est égale à l'opposé du gain marginal de la variable
d'écart qui lui correspond dans le primal.
En effet, on a vu que, en ce qui concerne les variables principales du programme dual,
elles étaient données à l'optimum par
La
variable du vecteur est, avec les notations précédentes
=B)
Or, on a vu, dans le paragraphe précédent, que le gain marginal de la
variable
d'écart associée à la
contrainte du primal était :
r
I
r
o
b
c
=
D'où le résultat.
Comme le dual est le primal, on a le théorème III bis :
Théorème III bis : À l'optimum des deux programmes, la valeur d'une variable
principale du primal est égale à l'opposé du gain marginal de la variable d'écart qui
lui est associée dans le dual.