Dualité
73
Le p
ième vecteur colonne de
s'écrit :
(zéro partout sauf à +1sur la
ligne), d'après la définition même d'une variable
d'écart pour un programme du type
.
Le premier membre de (8) est un vecteur ligne
Le p
ième élément de ce vecteur est:
Posons alors
et appelons
la
colonne de
On a
En conséquence, dans ce cas, on a
b) Dans le second cas, on fait le même raisonnement, mais cette fois en prenant
l'équation (7). On trouve alors :
.
Comme on peut faire ce raisonnement pour toute variable d'écart du programme (I), et
comme à chaque ligne du programme correspond une variable d'écart, on peut donc
écrire, à l'optimum (I)' :
ou
(9)
soit alors le vecteur ligne
D'après ce que l'on vient de voir
.
Par ailleurs, puisque :
D'après (7), on peut écrire :
Si on écrit cette inéquation en ne retenant que les colonnes de
et les termes de
correspondant aux variables principales du programme
, on obtient :