Problèmes de stocks
315
12.5.2. Nombre de renouvellements survenus à l'instant
Appelons
le nombre de renouvellements survenus à l'instant on a :
...
1,
=
]
>
[
=
]
<
)
(
[
n
t
S
P
n
t
R
P
n
]
<
[
1
=
t
S
P n
u
d
u
n
o
)
(
1
=
Si l'on a
on a donc la fonction de répartition de
Comme
est une
variable aléatoire entière, il est plus pratique de connaître :
]
<
)
(
[
1]
<
)
(
[
=
]
=
)
(
[
=
)
(
n
t
R
P
n
t
R
P
n
t
R
P
t
P n
Soit :
u
d
u
u
t
P
n
n
o
n
)]
(
)
(
[
=
)
(
1
(17)
Là aussi en général, on calcule
en passant par la transformée de Laplace. D'après
une priorité caractéristique de cette dernière, si on l'appelle
)]
(
)
(
[
1
=
)
(
1 p
p
p
p
P
n
n
n
(18)
Soit
)]
(
[1
)]
(
[
=
)
(
p
i
p
p
i
p
P
n
n
Ainsi, si
et
alors
dont la fonction objet est :
!
)
(
=
)
(
n
t
e
t
P
n
t
n
On retrouve l'expression classique de la loi de Poisson (nombre d'évènements survenus
entre