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Recherche opérationnelle
immédiatement par un équipement identique (même loi de probabilité de
On obtient
ainsi la suite
qui sont les instants de défaillances successives. On
donne à ce processus l'appellation de processus de renouvellement
15 .
L'analyse de ce type de processus se fait en général, dans le cas continu, grâce à
l'utilisation du calcul opérationnel. Donnons quelques exemples de grandeur que l'on
peut ainsi évaluer.
12.5.1. Instant de la
défaillance
Appelons
l'instant de la
défaillance. Si
sont les durées de vie des
équipements successifs mis en fonctionnement, on a :
Donc
est la somme de
variables aléatoires indépendantes, et de même loi de
probabilité; la loi de densité de
peut être alors obtenue par le produit de convolution
de la loi de densité de convoluée fois.
En fait, on passe en général par la transformée de Laplace, en profitant de ses propriétés
(en particulier, transformée d'un produit de convolution = produit des transformées).
Si l'on appelle
la loi de densité de
et
la loi de densité de
et
leurs transformées de Laplace respectives, on a :
n
n
p
i
p
)]
(
[
=
)
(
(16)
Exemple :
variable exponentielle de taux
p
p
i
=
)
(
n
n
n
p
p
)
(
=
)
(
La fonction objet de cette transformée est (d'après les tables)
!
1)
(
=
)
(
1
n
t
e
t
n
n
t
n
On retrouve bien une loi Erlang-n.
15 Il s'agit ici, plus précisément, de renouvellement simple, un cas plus compliqué étant constitué
par le fait qu'à
0
=
t
(début de l'observation), un équipement est déjà en marche (renouvellement
modifié).