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Recherche opérationnelle
Remarque 1 : le taux d'avarie
dépend ici de
c'est donc un processus
avec mémoire. Il est d'ailleurs facile de voir que
est croissant avec
Remarque 2 : Si l'on prend la variable
⋃ on trouve, pour loi de densité de ,
d'après (9)
!
1)
(
=
)
(
1
k
u
e
u
g
k
u
on retrouve ici une loi très classique, qui est la loi On peut poser :
(10)
)
(
1
=
)
(
1
k
u u
e
k
u
g
avec fonction eulérienne :
u
d
u
e
x
x
u
o
1
=
)
(
(on sait que
avec entiers)
Cette remarque conduit à généraliser le processus Erlang-k, donné par (9), à des
processus donnés par (10), avec non entier, mais réels : on a alors des durées de vie
régies par des lois .
c) Le modèle hyperexponentiel
Ce modèle correspond à un schéma plus complexe d'intervention de causes de
défaillance.
Supposons qu'un système puisse être dans
états incompatibles, avec les probabilités
(chacun de ces états correspond à un ensemble de causes de défaillance).
Lorsque l'équipement est dans l'état
il peut avoir des défaillances qui surviennent
suivant le modèle poissonnien de taux
Dans ces conditions, calculons
est la probabilité qu'entre
il n'y ait aucune défaillance = probabilité que
l'équipement soit dans l'état
et qu'il n'y ait aucune défaillance dans cet état, etc.
Donc :
t
i
i
k
i
e
w
t
v
1
=
=
)
(
(11)
avec
1
=
1
=
i
k
i
w