Problèmes de stocks
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i
k
i
T
T
1
=
=
les
étant des variables exponentielles indépendantes de taux
A titre d'exercice, calculons la fonction de densité de la variable
Si l'on appelle
le nombre d'évènements étant arrivés à l'instant on a :
]
)
(
[
=
]
<
[
=
)
(
k
t
N
P
t
T
P
t
F
Or l'on sait que
!
)
(
=
]
=
)
(
[
n
t
e
n
t
N
P
n
t
(expression classique de la loi de Poisson).
Donc
)
(
...
)
(
)
(
1
=
]
)
(
[
1
1
0
t
p
t
p
t
p
k
t
N
P
k
!
1)
(
)
(
...
!
1
1
=
)
(
1
k
t
e
t
e
e
t
F
k
t
t
t
et, en dérivant :
1)!
(
)
(
...
2!
1!
1
=
)
(
1
2
2
k
t
t
t
e
t
i
k
t
1)!
(
1)
(
...
2!
2
!
1
2
1
2
k
t
k
t
t
e
k
k
t
les termes de degré inférieur à
(pour ) s'annulant deux à deux, il reste :
(9)
1)!
(
)
(
=
)
(
1
k
t
e
t
i
k
t
qui est la fonction de densité de la loi Erlang-k. Quant aux fonctions
elles n'ont pas d’écriture simple. Par contre, on a, bien évidemment :
2
2 =
=
k
k
t
T