Phénomènes d’attente
299
11.4.2. Systèmes fermés
Jusqu'ici, les clients étaient supposés en nombre illimité. Dans beaucoup d'exemples
(atelier de réparation recevant des machines provenant d'une usine), le nombre de clients
est limité et est par ailleurs recyclé dans le système.
Lorsqu'il est possible de conserver les hypothèses d'arrivées poissonniennes et de
services exponentiel, il convient de remarquer que le taux d'arrivée
et le taux de
service
dépend de
nombre de clients dans le système d'attente.
Dans ces conditions, les probabilités de transition entre
seront les suivantes:
Un phénomène qui est caractérisé par de telles probabilités de transition est appelé
« processus de naissance et de mort ». Les équations d'état correspondantes sont :
1
1
1
1
)
(
)
(
)
(
=
)
(
n
n
n
n
n
n
n
'
n
p
t
p
t
p
t
p
(24)
)
(t
)
(
)
(
=
)
(
1
1
0
0
0
t
p
t
p
t
p
'
Ces équations peuvent décrire l'évolution de nombreux systèmes, caractérisés par une
population d'éléments ou d'individus variant par l'effet de disparitions et de naissances.
En ce qui concerne les phénomènes d'attente, remarquons que les deux systèmes que
nous avons étudiés constituent un tel processus.
Pour le premier (une station, arrivées poissonniennes, service exponentiel), on a
0
=
n
n
0
=
n
n
Pour le second ( stations, arrivées poissonniennes, services exponentiels de taux
identique
0
=
n
n
s
n
n
n =
s
n
s
n
>
=
En ce qui concerne les systèmes fermés, si l'on prend l'exemple de l'atelier de réparation,
on peut avoir la configuration suivante :