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Recherche opérationnelle
On retrouve là le résultat obtenu pour le service exponentiel, où
est en
effet la probabilité qu'un client n'attende pas, donc que la station soit inoccupée.
Finalement
)
(
1
1
1
=
)
(
p
S
s
p
p
F
(22)
formule qui permet d'obtenir
si l'on connaît la loi des temps de service, donc
par (14).
Par exemple, si le service est exponentiel, de taux
on trouve facilement,
si l’on suppose
formule qui n'est évidemment valable que si
.
Nous voyons donc que la méthode intégrale permet de résoudre le système ouvert à une
station, pour des lois d'arrivée et de service divers. Il faut cependant remarquer que,
malheureusement, cette méthode est fort mal adaptée au traitement d'un système à
plusieurs stations. En effet l'égalité
]
[0,
max
=
1
n
n
n
a
v
est toujours valable, mais pour une station particulière :
représente l'intervalle de
temps séparant l'arrivée de deux clients successifs dans une des files d'attente. Mais
alors, la loi de
dépend du système de choix des files d'attente par les clients, ce qui
complique en général notablement le problème.
11.4. SYSTEMES PLUS COMPLEXES
Nous avons constaté qu'un phénomène d'attente pouvait très vite se compliquer : un
système à plusieurs stations et arrivées non poissonniennes ou service non exponentiel
peut en général difficilement se formaliser. D'autres circonstances peuvent encore rendre
la modélisation pénible. Nous allons les passer rapidement en revue :
11.4.1. Stations de service non identiques
L'évolution du système dépend du choix des clients. En particulier lorsque le nombre de
stations occupées est
Il importe de déterminer ce choix pour calculer les
probabilités de transition. On résout le problème en introduisant une distribution sur les
choix des clients, au prix de complications laborieuses.