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Recherche opérationnelle
Donc l'expression (16) est égale à
(17)
(0)
p
F
Par ailleurs
u
d
u
G
e
u
x
x
)
(
)
(
0
est le produit de convolution des fonctions
et
Or la transformée de Laplace
d'un produit de convolution, on le sait, est égale au produit des transformées de Laplace.
Donc, la transformée de
u
d
u
G
e
u
x
x
)
(
)
(
0
est égale à
(18)
)
( p
G
p
si
est la transformée de
Au total, la transformée de
est égale,
d'après (15), (17) et (18) à :
)
(
(0)
=
)
(
p
G
p
p
F
p
F
(19)
)
(
(0)
=
)
(
p
p
G
F
p
F
Par ailleurs, d'après (14), on a
(20)
)
(
)
(
=
)
(
p
F
p
s
p
G
Si
est la transformée de la fonction
(19) et (20) donnent alors :
(21)
)
(
(0)
=
)
(
p
s
p
F
p
F
Cette expression permet de calculer
si l'on se donne
donc
à condition que l'on puisse déterminer
Pour déterminer
utilisons cette formule (21). On voit facilement que si l'on fait
tendre vers 0,
est indéterminé.
En effet,
lorsque
et
lorsque
d'après la signification
de
et de
Donc
lorsque