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Recherche opérationnelle
n
n
n
a
v
1
=
Posons :
]
[
=
)
(
x
v
p
x
F
n
n
et
]
[
=
)
(
x
p
x
G
n
n
Si l'on fait alors les deux hypothèses suivantes :
- les variables
sont indépendantes mutuellement et ont pour loi de densité
- les variables
sont mutuellement indépendantes et ont pour loi de densité
On peut établir des lois de récurrence pour les fonctions
. En effet, on a :
ce qui peut s'écrire encore sous la forme du produit de
convolution :
x
n x
G
0
=
)
(
y
d
y
x
F
y
s
n
)
(
)
(
Par ailleurs
]
[
=
]
[
=
)
(
1
x
a
P
x
v
P
x
F
n
n
n
n
]
[
=
1
n
n
a
x
P
ce qui peut encore s'écrire :
y
d
y
x
G
y
a
x
F
n
n
)
(
)
(
=
)
(
1
0
Par ailleurs, les conditions initiales sont :
x
x
F
1
=
)
(
1
et
y
d
y
s
x
G
x
)
(
=
)
(
0
1
Si l'on suppose qu'à l'instant initial, la file d'attente est nulle.
De proche en proche, on peut alors calculer les fonctions
qui donnent
les distributions des temps d'attente des clients. Ce calcul est évidemment laborieux
d'une façon générale, et l'on préfère se placer, là aussi, dans le cas du régime permanent.
Si ce dernier existe alors :
)
(
)
(
x
F
x
F n