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Recherche opérationnelle
Pour
)
(
)
(
=
)
(
)
(
0
=
1
0
0
0
t
p
t
p
t
d
t
p
t
d
t
p
n
Si l'on fait tendre
vers on obtient de nouvelles équations (à condition, bien sûr, que
certaines conditions de continuité et de dérivabilité soient vérifiées, ce que nous
supposerons : encore une fois, il ne s'agit pas de faire des mathématiques). Ces
équations, dites équations d'état du système, sont :
)
(
)
(
)
(
)
(
=
)
(
0
>
1
1
t
p
t
p
t
p
t
p
n
n
n
n
'
n
(1)
)
(
)
(
=
)
(
0
=
1
0
0
t
p
t
p
t
p
n
'
Ces équations permettent théoriquement de calculer les fonctions
si l'on adjoint
les conditions :
13
Mais ce calcul, faisant intervenir les transformées de Laplace, est assez complexe. Par
ailleurs, comme dans le cas des chaînes de Markov, il est rarement intéressant de
connaître les probabilités d'état pour chaque instant Il importe d'avantage de connaître
le régime permanent s'il existe, c'est-à-dire la limite des probabilités
lorsque tend
vers l'infini. Si ces probabilités tendent effectivement vers des limites
et si par ailleurs
ces limites sont indépendantes de l'état initial, on dira là encore, comme dans le cas des
chaînes de Markov que le phénomène est ergodique.
À l'aide des équations (1), on démontre bien que
tend vers une limite lorsque
tend vers l'infini. Comment calculer cette limite?
Il suffit pour ce faire de remarquer que si
lorsque
dans les
mêmes conditions.
Les équations (1) donnent alors immédiatement les équations (2), équations à la limite :
0
=
1
0
p
p
0
=
)
(
1
1
n
n
n
p
p
p
On en tire :
13 On pourrait ainsi imposer la condition :
1
=
(0)
0
n
p
et
0
=
(0)
n
p
pour
.
o
n
n