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Recherche opérationnelle
2
1
=
)
(
1
=
)
(
S
V
S
E
Ces quelques rappels étant effectués, passons à l'étude de la file d'attente considérée,
c'est-à-dire à une station en système ouvert.
11.1.3. Etude de la file d'attente. Equation d'état
Supposons donc que les arrivées soient poissonniennes, de taux
et les services
exponentiels, de taux , identiques pour chaque client.
À partir de maintenant, nous désignerons par
(variable aléatoire) le nombre total de
clients dans le système à l'instant c'est-à-dire la somme du nombre de clients en attente
d'être servis et du client qu'on est en train de servir à l'instant (s'il existe, car la station
peut fort bien être inoccupée). Nous appellerons
la probabilité que
.
]
=
)
(
[
=
)
(
n
t
N
P
t
P n
Par ailleurs, nous dirons que, si à l'instant il y a clients en tout dans le système, ce
dernier est dans l'état
Dans ces conditions, considérons deux instants
étant l'intervalle de temps
infiniment petit. D'après les lois choisies pour les arrivées et les services, la probabilité
pour qu'il arrive plus d'un client entre
est négligeable, ainsi que la probabilité
pour qu'il y ait plus d'un client servi sur le même intervalle de temps. Alors, entre
les seules transitions possibles sont les suivantes, si
est l'état du système à
l'instant
et si est positif :
(1 client arrivé et 1 client sorti ou 0 client arrivé et 0 client sorti)
(0 client arrivé et 1 client sorti)
(1 client arrivé et 0 client sorti)
Si est nul, les seules transitions possibles sont :
(0 client arrivé)
(0 client arrivé et 1 client sorti)
Serveur
Taux d’arrivée
moyen
clients/unité de
temps
Taux de service
moyen
clients/unité de
temps