Phénomènes d’attente
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H 4.
La probabilité qu'il arrive deux clients au moins simultanément est nulle.
Sous ces hypothèses, on démontre (voir cours de probabilité) les résultats suivants :
11. 1. 2. Loi du nombre d'arrivées sur un intervalle de temps
Si
est le nombre d'arrivée de clients sur l'intervalle de temps
on a :
!
)
(
=
]
=
)
(
[
n
t
e
n
t
N
P
n
t
11.1.2.1. Probabilité d'une arrivée sur un intervalle de temps
infiniment petit
La probabilité qu'il y ait une arrivée entre
est égale à
. Cette propriété
met en valeur la signification du paramètre qui sera appelé taux d'arrivée.
11.1.2.2. Espérance mathématique et variance du nombre d'arrivées
On a :
et
étant respectivement les opérateurs espérance mathématique et variance.
11.1.2.3. Loi de l'intervalle de temps séparant deux arrivées successives.
Soit la variable aléatoire constituée par l'intervalle de temps séparant deux arrivées
successives. Il s'agit d'une variable aléatoire continue de fonction de densité
u
e
u
f
=
)
(
On trouve, la loi exponentielle, qui est donc liée étroitement au processus poissonnien.
Si nous prenons pour l'étude de notre file d'attente un service exponentiel, cela signifie
que le temps de service d'un client quelconque a pour loi de densité une exponentielle
étant appelé le taux de service. Dans ces conditions la probabilité pour que, à un
instant quelconque, un client en service à t soit effectivement servi entre et
(et
donc sorte du système) est égale à
Comme le résultat 11.1.1.2, cette propriété est
fondamentale et simplifie de beaucoup l'étude du phénomène en cause.
11.1.2.4. Espérance mathématique et variance du temps de service.
Si le temps de service d'un client quelconque est exponentiel, avec un taux de service
, on a :