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Recherche opérationnelle
11.1. SYSTEME OUVERT A UNE SEULE STATION. ARRIVEES POISSONNIENNES
ET SERVICE EXPONENTIEL
Dans ce paragraphe, nous nous intéresserons au phénomène suivant : des clients arrivent
à une station de service où ils sont servis dans l'ordre où ils arrivent. Ils attendent
éventuellement, c'est-à-dire lorsque la station est déjà occupée quand ils arrivent.
Lorsqu'ils sont servis, ils disparaissent du système (système ouvert : il n'y a pas
recyclage des clients). Par ailleurs, nous supposerons que :
- les arrivées des clients sont poissonniennes,
- le service est exponentiel.
Cette hypothèse mérite un rappel rapide sur les processus poissonniens.
11.1.1. Rappels sur les processus poissonniens
Dire que les arrivées des clients se font de façon poissonnienne, c'est faire les hypothèses
suivantes :
H 1. Indépendance
Si
sont les nombres (aléatoires) de clients arrivés respectivement sur les
intervalles de temps disjoints
alors
sont
indépendants en probabilité quel que soit et quels que soient les intervalles de temps
choisis. Dans la mesure où
ne dépend pas du nombre d'arrivées survenu pendant les
intervalles de temps précédents, on dit aussi que le processus est sans mémoire.
H. 2. Stationnarité.
La loi de l'ensemble
reste inchangée si les
valeurs
,
sont augmentés ou diminués d'une même quantité.
Ces deux hypothèses conduisent au fait suivant : si l'on prend un intervalle de temps
quelconque
alors la loi de probabilité de ce nombre ne dépend que de la quantité
.
t
t
'
A ces deux hypothèses essentielles, il convient d'en rajouter deux autres, pour exclure
des processus aberrants :
H 3.
Si
est la probabilité qu'il n'arrive aucun client sur l'intervalle de temps
on a
pour tout
il n'arrive jamais aucun client ;
il arrive toujours un client; ce sont des cas inintéressants).