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Recherche opérationnelle
on a bien
puisque la somme des éléments de
est égale à , et que
toutes les lignes de sont identiques à
Exemple : Nous allons calculer le vecteur d'état limite
sur un petit exemple
particulier.
Soit une machine qui a la probabilité de tomber en panne pendant un jour donné. Si
elle tombe en panne, elle est envoyée le soir à un atelier de réparation où elle est réparée
en une journée avec la probabilité et, en deux journées avec la probabilité
. Une
fois réparée, elle est remise en marche le lendemain matin du jour de la réparation.
Plaçons-nous au début d'une journée quelconque, et posons-nous la question de savoir
quelle est la probabilité que la machine soit en fonctionnement ce jour donné. Nous
avons trois états :
: la machine est en fonctionnement au début du jour considéré.
la machine subit son premier jour de réparation.
: la machine subit son second jour de réparation.
On a alors la matrice de probabilités de transition suivante, entre la date (début du
jour ) et la date
( début du jour
)
Si nous nous plaçons en régime permanent, c'est-à-dire lorsque est suffisamment
grand, cherchons le vecteur limite
et la probabilité cherchée sera
D'abord, il est tout à fait évident qu'ici la matrice
n'est pas réductible ni
périodique. En conséquence, le processus est ergodique,
existe bien, et est
indépendant de
On a :
Soit
On vérifie que ce système homogène est dégénéré puisque
donne
F
R1 R2
F
10
R1
0
1R2 1
0
0