Les chaînes de Markov
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ce qui montre que est un vecteur propre associé à la valeur propre 1
11 .
Donc :
Le système (7) est dégénéré. Pour avoir les
il faut ajouter à (7) l'équation triviale :
1
=
1
=
j
m
j
On démontre que le système a une solution et une seule. Il s'écrit :
m
j
P
j
i
ij
m
i
...
1
=
=
1
=
(8)
1
=
1
=
i
m
j
Remarque : Une autre façon de raisonner aurait été de chercher la limite de la matrice
lorsque tend vers l'infini, puisque
)
(
(0)
=
)
(
t
M
P
t
P
Dans ce cas si
On peut écrire, en utilisant le même raisonnement qu'auparavant :
si l'on prend une ligne particulière
on a :
Par ailleurs
ce qui signifie que est également solution du système (8).
En conséquence, toutes les lignes de la matrice sont identiques et égales au vecteur
d'état limite . Si l'on cherche alors
par
11 Signalons ici que de nombreux résultats portent sur les valeurs propres des matrices
stochastiques, et que ces résultats pourraient servir de base à une démonstration rigoureuse des
développements que nous fournissons sans démonstration.