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Recherche opérationnelle
La mise en évidence des classes d'états
d'une matrice périodique n'est pas toujours
évidente : elle se fait par la détermination des circuits passant par un sommet quelconque
du graphe (voir partie II).
10.4. RECHERCHE DU VECTEUR D'ETAT LIMITE
Nous nous placerons dans le cas où le vecteur d'état
a une limite
indépendante
de
, c'est-à-dire dans le cas de l'ergodicité. La matrice
correspondante est
irréductible et apériodique. Dans ces conditions, le calcul de
peut s'effectuer de façon
intuitive comme si l'on procédait sur une suite du type :
On sait que si
a une limite, elle est trouvée par
)
(
= 
 f
Ici, étant donné que l'on a :
M
t
P
t
P
)
(
=
1)
(
On trouvera , limite de
lorsque tend vers l'infini par :
M
P
P =
Posons alors
L'équation (6) fournit un système d'équations homogènes avec pour inconnues les
qui
peut s'écrire :
0
=
)
(
M
I
P
La solution triviale
n'est pas unique, car le déterminant de la matrice
n'est
pas nul. En effet, il est évident qu'une des valeurs propres de la matrice est : si est
le vecteur colonne :
constitué uniquement de 1 on a
du fait de :
1
=
1
=
ij
m
j
P