Les chaînes de Markov
249
de telle façon que puisse s'écrire de la façon suivante (en réordonnant les éléments) :
où les 0 de la diagonale principale représentent des matrices carrées nulles,
et où les matrices
sont des matrices non nulles,
rectangulaires de dimension
, tous les autres éléments de sont nuls.
Une matrice qu'on ne peut mettre sous cette forme est dite apériodique.
10.3.3. Théorème
Pour qu'une chaîne de Markov soit ergodique, il faut et il suffit que la matrice
stochastique qui lui correspond soit irréductible et apériodique.
Donnons quelques indications permettant de comprendre pourquoi des matrices
stochastiques réductibles ou périodiques ne correspondent pas à des chaînes de Markov
ergodiques.
a) Matrices réductibles
Reprenons l'écriture d'une matrice réductible, telle que nous l'avons proposée ci-dessus;
nous avons pu classer les différents états du système en
sous-ensembles
tels que:
Si
Par contre si
il existe au moins un n'appartenant pas à tel que
.
R2
0
Rd
C1
C2
Cd-1
Cd
Cd
Cd-1
C2
C1
C3
R1
0
0
0
0
0
Rd-1