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Recherche opérationnelle
On peut symboliser cette propriété de la façon suivante:
Les flèches à l'intérieur des classes signifient que lorsque l'on se trouve en un état
d'une de ces classes, on ne peut sortir de la classe. Par contre, il existe des possibilités de
passages de
dans certaines classes
(pas forcément toutes).
seront
appelées ensembles d'états fermés.
sera l'ensemble des états transitoires.
Dans ces conditions, si l'on peut effectivement décomposer les états d'une chaîne de
Markov de cette façon, il est bien évident qu'on ne peut avoir d'ergodicité. En effet, il est
clair qu'à chaque instant , donc également lorsque devient infini, le vecteur d'état
dépend de l'état initial. En particulier, si l'état initial est dans la classe d'état fermée ,
on a
.
Ce qui n'est plus vrai si l'on part d'autres classes
ou encore de la classe des états
transitoires.
Si aucune des matrices stochastiques
correspondant aux classes
n'est périodique, le vecteur
a bien une limite, mais qui dépend de
Cette limite, par ailleurs, n'est pas facile à calculer
9
. Nous laisserons donc de côté cet
aspect du problème.
Exemple de matrice réductible : Soit la matrice stochastique suivante:
9 Ce qui est intuitif (et vrai) est que lorsque t tend vers l'infini
0
)
(t
P i
pour tout i tel que
T
E i
(d'où l'appellation « états transitoires »).
T
C1
Cl
Ch
E1 E2 E3 E4 E5 E6
E1 0
0,3 0,4 0,3 0
0
E2 0
1
0
0
0
0
E3 0
0
0
0
0,5 0,5
E4 0,6 0
0,2 0
0,2 0
E5 0
0
0
0
0
1
E6 0
0
1
0
0
0