Chapitre 1 • Structures ordonnées Applications des treillis
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ou :
1 A # B 1
# A # x 1
# B # x 5 02 1 F 5 1
ou encore :
3 1 A 1
# B2 # 1 A 1
# x2 # 1 B 1
# x2 5 14 1 F 5 1.
En fai sant le pro duit, on obtient :
1 A # B 1
# A # x 1
# B # x 5 12 1 F 5 1.
On en déduit donc que :
2) Lors qu’une fonc tion se pré sente sous la forme A # x 1
# B # x, on peut lui ajou ter
A # B, nommé « consen sus » de A # x 1
# B # x, comme consti tuant (ce qui ne pré sente
d’inté rêt que s’il n’est pas iden ti que ment égal à 0).
Ce sont ces remarques qui consti tuent le fon de ment de la « méthode de Quine »
pour l’obten tion des consti tuants pre miers. Leur appli ca tion sys té ma tique et ité ra tive
per met de cal cu ler la liste complète des consti tuants pre miers d’une fonc tion.
Repre nons à cet effet la fonc tion :
F 5 x 1 # x 2 1
# x 2 # x 3 1
# x 1 # x 3
Elle n’est pas sim pli fiable par la pre mière règle. Écrivons­ la sous la forme d’un
tableau à double entrée pour faci li ter l’appli ca tion de la seconde.
On a ainsi le tableau I, qui per met de compa rer deux à deux les consti tuants
initiaux de F et de cal cu ler, selon la règle 2), des consti tuants sup plé men taires.
Ainsi, si l’on pose :
A # x 5 x 1 # x 2 , c’est-à-dire A 5 x 1 et x 5 x 2,
on a aussi :
B # x 5 x 3 # x 2 , c’est-à-dire B 5 x 3 et x 5 x 2 ,
d’où l’appa ri tion du consti tuant (consen sus) :
A # B 5 x 1 # x 3 .
De même : x 1 # x 2 et x 1 # x 3 donnent le consen sus : x 2 · x 3 .
I
I
II
II
x 1 • x 2
x 1 • x 3
x 2 • x 3
x 2 • x 3
x 2 • x 3
x 2 • x 3
x 3
x 3
x 1 • x 3
x 1 • x 3
x 1 • x 3
x 1 • x 3
x 2 • x 3