1.3 L’algèbre de Boole binaire
© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
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On n’écri rait, évi dem ment pas, le consti tuant sup plé men taire s’il était déjà contenu
dans F , en rai son de l’idempotence ; on ne l’écri rait pas non plus s’il était contenu dans
un des consti tuants déjà connus ou s’il était iden tique à l’un de ces consti tuants.
Après l’achè ve ment du tableau I on applique la règle 1), mais ici elle ne four nit
pas de sim pli fi ca tion ; on a alors :
F 5 x 1 # x 2 1
# x 2 # x 3 1
# x 1 # x 3 1
# x 2 # x 3 .
Avec les consti tuants de cette liste, on forme le tableau II ; on trouve, à deux
reprises, grâce à l’appli ca tion de la règle 2), le consti tuant nou veau x 3 , que l’on
n’écrit qu’une fois. La règle de sim pli fi ca tion 1) s’applique main te nant : en effet,
x 2 # x 3 , x 1 # x 3 , x 1 # x 3 et x 2 # x 3 sont conte nus dans x 3 et il reste donc :
F 5 x 1 # x 2 1
# x 3 .
On pour rait consti tuer un tableau III pour exa mi ner ces deux consti tuants, mais c’est
inutile, car, la fonc tion n’étant pas de la forme 2 , la règle 2) ne peut plus s’appli quer.
C’est à ce moment que l’on a la liste de tous les consti tuants pre miers de F.
Remarque. Une autre manière commode, dite « méthode de double duale »,
d’obte nir la liste des consti tuants pre miers consiste à :
1) prendre le complé ment F de F ;
2) déve lop per ; sup pri mer les termes nuls ou redon dants (càd absorbés) .
3) prendre alors le complé ment F de F et supprimer les termes nuls ou
redondants.
On peut prou ver que l’expres sion obte nue après déve lop pe ment, puis réduc
tion, consti tue la liste des consti tuants pre miers de F.
Exemple.
Soit
F 5 a # b # c 1
# a # b # c 1
# b # c . Calculons F :
F 5 (a 1
# b 1
# c) # (a 1
# b 1
# c) # (b 1
# c) 5 (a 1
# b 1
# c) # (a # b 1
# c)
5 a # c 1
# a # b 1
# b # c 1
# a # b # c 5 a # c 1
# a # b 1
# b # c, car a # b absorbe a # b # c
Puis calculons F, qui n’est autre que F :
F 5 F 5 1 a 1
# c 2 # 1 a 1
# b 2 # 1 b 1
# c 2 5 1 a 1
# c 2 # 1 b 1
# a # c 2
5 a # b 1
# b # c 1
# a # c.
En fait, cette méthode équi vaut à la pré cé dente car G 5 1 1
# 2 donne :
G 5 1 # 2 5 C # (A # B 1
# A # x 1
# B # x)
puis G 5 G 5 C 1
# A # B 1
# A # x 1
# Bx, comme en page 24
on a ici obtenu, pour la fonc tion F, sa forme mini male. Mais ce n’est pas tou jours le
cas. Soit, par exemple, de nou veau :
F 5 a # b # c 1
# a # b # c 1
# b # c ;
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© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
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On n’écri rait, évi dem ment pas, le consti tuant sup plé men taire s’il était déjà contenu
dans F , en rai son de l’idempotence ; on ne l’écri rait pas non plus s’il était contenu dans
un des consti tuants déjà connus ou s’il était iden tique à l’un de ces consti tuants.
Après l’achè ve ment du tableau I on applique la règle 1), mais ici elle ne four nit
pas de sim pli fi ca tion ; on a alors :
F 5 x 1 # x 2 1
# x 2 # x 3 1
# x 1 # x 3 1
# x 2 # x 3 .
Avec les consti tuants de cette liste, on forme le tableau II ; on trouve, à deux
reprises, grâce à l’appli ca tion de la règle 2), le consti tuant nou veau x 3 , que l’on
n’écrit qu’une fois. La règle de sim pli fi ca tion 1) s’applique main te nant : en effet,
x 2 # x 3 , x 1 # x 3 , x 1 # x 3 et x 2 # x 3 sont conte nus dans x 3 et il reste donc :
F 5 x 1 # x 2 1
# x 3 .
On pour rait consti tuer un tableau III pour exa mi ner ces deux consti tuants, mais c’est
inutile, car, la fonc tion n’étant pas de la forme 2 , la règle 2) ne peut plus s’appli quer.
C’est à ce moment que l’on a la liste de tous les consti tuants pre miers de F.
Remarque. Une autre manière commode, dite « méthode de double duale »,
d’obte nir la liste des consti tuants pre miers consiste à :
1) prendre le complé ment F de F ;
2) déve lop per ; sup pri mer les termes nuls ou redon dants (càd absorbés) .
3) prendre alors le complé ment F de F et supprimer les termes nuls ou
redondants.
On peut prou ver que l’expres sion obte nue après déve lop pe ment, puis réduc
tion, consti tue la liste des consti tuants pre miers de F.
Exemple.
Soit
F 5 a # b # c 1
# a # b # c 1
# b # c . Calculons F :
F 5 (a 1
# b 1
# c) # (a 1
# b 1
# c) # (b 1
# c) 5 (a 1
# b 1
# c) # (a # b 1
# c)
5 a # c 1
# a # b 1
# b # c 1
# a # b # c 5 a # c 1
# a # b 1
# b # c, car a # b absorbe a # b # c
Puis calculons F, qui n’est autre que F :
F 5 F 5 1 a 1
# c 2 # 1 a 1
# b 2 # 1 b 1
# c 2 5 1 a 1
# c 2 # 1 b 1
# a # c 2
5 a # b 1
# b # c 1
# a # c.
En fait, cette méthode équi vaut à la pré cé dente car G 5 1 1
# 2 donne :
G 5 1 # 2 5 C # (A # B 1
# A # x 1
# B # x)
puis G 5 G 5 C 1
# A # B 1
# A # x 1
# Bx, comme en page 24
on a ici obtenu, pour la fonc tion F, sa forme mini male. Mais ce n’est pas tou jours le
cas. Soit, par exemple, de nou veau :
F 5 a # b # c 1
# a # b # c 1
# b # c ;
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