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1.2 Repré sen ta tion ensembliste des algèbres de Boole
A c B 5 A d B
(1.2)
Rem pla çons, dans cette for mule, A par A et B par B ; on obtient :
A c B 5 A c B 5 A d B.
Pre nons main te nant le complé men taire de chaque membre ; il vient :
A c B 5 A d B ;
mais, d’après l’involution A c B 5 A c B ; on a donc :
A d B 5 A c B
(1.3)
Les expres sions (1.2) et (1.3) sont dites for mules de de Morgan.
En reve nant à la figure 1.8 on voit que le prin cipe du tiers exclu s’exprime par :
A c A 5 R.
(1.4)
1.2.4 Commu ta ti vité. Idempotence. Élé ments neutres
Les opé ra tions d et c sont évi dem ment commu­ ­ ta­ ­ tives :
A d B 5 B d A ;
(1.5)
A c B 5 B c A.
(1.5bis)
On montre, étant donné le contexte logique sous- jacent, qu’elles sont aussi asso cia -
tives :
A d 1 B d C 2 5 1 A d B 2 d C ;
(1.6)
A c 1 B c C 2 5 1 A c B 2 c C.
(1.6bis)
Il n’est pas dif fi cile de voir que :
A d A 5 A
(1.7)
et que :
A c A 5 A ;
(1.7bis)
on dit alors que les deux opé ra tions d et c sont idempotentes (cette pro priété se tra -
duit par l’inuti lité d’expo sants et de coef fi cients en algèbre de Boole).
Reve nons à l’ensemble vide, [ ; il ne comprend aucun élé ment ; en consé quence,
on a :
A c [ 5 A.
(1.8)
Pre nons main te nant l’inter sec tion de A et du référentiel R ; elle est évi dem ment iden ­
tique à A :
A d R 5 A.
(1.9)
Les élé ments [ et R sont, res pec ti ve ment, les élé ments neutres (ou uni tés), respectivement, des opé ra tions c et d.