Chapitre 1 • Structures ordonnées Applications des treillis
14
1.2.5 Distributivité
Les opé ra tions d et c doivent être mutuel le ment dis tri bu tives. C’est- à-dire que l’on a :
A d 1 B c C 2 5 1 A d B2 c 1 A d C 2
(1.10)
et
A c 1 B d C 2 5 1 A c B 2 d 1 A c C 2 .
(1.10bis)
Il est facile de le véri fier, par exemple au moyen des dia grammes d’Euler Venn.
Construi sons, à cet effet, le sous- ensemble cor res pon dant à l’expres sion for mant le
membre gauche de (1.10bis) : il s’agit de réunir les régions A (hachures ver ti cales)
et B d C (hachures hori zon tales) ; on obtient ainsi une région, compor tant un type ou
l’autre des hachures, qui a été entou rée d’un trait gras sur la figure 1.11.
Construi sons main te nant le sous- ensemble cor res pon dant au second membre de
(1.10bis) : il s’agit de trou ver l’inter sec tion des réunions A c B (hachures ver ti cales)
et A c C (hachures hori zon tales) ; on obtient ainsi une région compor tant l’un et
l’autre type de hachures ; elle a été entou rée d’un trait gras sur la figure 1.12 et l’on
voit qu’elle coïn cide avec la région dis tin guée de la figure 1.11.
Figure 1.11 A c 1B d C2
Figure 1.12 1A c B2 d 1A c C2
Le lec teur est invité à véri fier lui mème la for mule (1.10), au moyen d’une
construc tion ana logue.
Remarque. Il ne s’agit ici que de véri fi ca tion ; elle ne se haus se rait au rang
d’une démons tra tion que si l’on pre nait soin de consi dé rer les seize cas de
figure. On peut donner une démons tra tion, et pas seulement une véri fi ca tion
de (1.10), étant donné (1.10bis), consi déré comme un axiome, et à condi tion
d’ajou ter les axiomes d’absorp tion :
A d 1 A c B 2 5 A c 1 A d B 2 5 A,
le lec teur pour ra s’ins pi rer du para graphe consa cré aux treillis dis tri bu tifs.
1.2.6 Vers une axio ma tique
On a l’habi tude, en algèbre de Boole, de dési gner l’ensemble vide par 0 et le réfé ren
tiel par 1 (plutot que n et U).
On montre qu’un ensemble dans lequel existent deux opé ra tions binaires, d et c,
et une opé ra tion unaire, , telles que les axiomes sui vants soient véri fiés :
14
1.2.5 Distributivité
Les opé ra tions d et c doivent être mutuel le ment dis tri bu tives. C’est- à-dire que l’on a :
A d 1 B c C 2 5 1 A d B2 c 1 A d C 2
(1.10)
et
A c 1 B d C 2 5 1 A c B 2 d 1 A c C 2 .
(1.10bis)
Il est facile de le véri fier, par exemple au moyen des dia grammes d’Euler Venn.
Construi sons, à cet effet, le sous- ensemble cor res pon dant à l’expres sion for mant le
membre gauche de (1.10bis) : il s’agit de réunir les régions A (hachures ver ti cales)
et B d C (hachures hori zon tales) ; on obtient ainsi une région, compor tant un type ou
l’autre des hachures, qui a été entou rée d’un trait gras sur la figure 1.11.
Construi sons main te nant le sous- ensemble cor res pon dant au second membre de
(1.10bis) : il s’agit de trou ver l’inter sec tion des réunions A c B (hachures ver ti cales)
et A c C (hachures hori zon tales) ; on obtient ainsi une région compor tant l’un et
l’autre type de hachures ; elle a été entou rée d’un trait gras sur la figure 1.12 et l’on
voit qu’elle coïn cide avec la région dis tin guée de la figure 1.11.
Figure 1.11 A c 1B d C2
Figure 1.12 1A c B2 d 1A c C2
Le lec teur est invité à véri fier lui mème la for mule (1.10), au moyen d’une
construc tion ana logue.
Remarque. Il ne s’agit ici que de véri fi ca tion ; elle ne se haus se rait au rang
d’une démons tra tion que si l’on pre nait soin de consi dé rer les seize cas de
figure. On peut donner une démons tra tion, et pas seulement une véri fi ca tion
de (1.10), étant donné (1.10bis), consi déré comme un axiome, et à condi tion
d’ajou ter les axiomes d’absorp tion :
A d 1 A c B 2 5 A c 1 A d B 2 5 A,
le lec teur pour ra s’ins pi rer du para graphe consa cré aux treillis dis tri bu tifs.
1.2.6 Vers une axio ma tique
On a l’habi tude, en algèbre de Boole, de dési gner l’ensemble vide par 0 et le réfé ren
tiel par 1 (plutot que n et U).
On montre qu’un ensemble dans lequel existent deux opé ra tions binaires, d et c,
et une opé ra tion unaire, , telles que les axiomes sui vants soient véri fiés :