Chapitre 1 • Structures ordonnées Applications des treillis
12
– des élé ments véri fiant la pro priété p seule (région 2) ;
– des élé ments véri fiant la pro priété q seule (région 1) ;
– des élé ments véri fiant les pro prié tés p et q (région 3) ;
– des élé ments ne véri fiant ni la pro priété p, ni la pro priété q (région 0).
Par défi ni tion, les élé ments pos sé dant les pro prié tés p et q sont dits consti tuer
l’inter sec tion des sous- ensembles A et B (région 3) et l’on désigne ce sous- ensemble
par la nota tion A d B, où le sym bole d indique que l’on a appli qué l’opé ra tion
d’inter sec tion aux sous- ensembles A et B.
On voit que :
– les élé ments de la région 2 forment un sous ensemble de R qui peut être noté
A d B ;
– les élé ments de la région 1 forment le sous ensemble A d B ;
– les élé ments de la région 0 consti tuent le sous ensemble A d B.
De plus, le prin cipe de contra dic tion peut main te nant s’expri mer par :
A d A 5 [,
(1.1)
le sym bole [ dési gnant le sous ensemble vide (le plus sou vent nommé ensemblevide).
1.2.3 For mules de de Morgan. Prin cipe du tiers exclu
Reve nons aux sous ensembles A et B pré cé dents et préoccupons nous de savoir si
nous pou vons trou ver un sous ensemble de R dont les élé ments véri fient les pro
prié tés p ou q.
Hâtons- nous de dire que cette for mu la tion est ambigüe. Les latins, par exemple,
avaient deux mots pour expri mer la conjonc tion de coor di na tion ou : vel et a ut. Nous
tra dui sons a ut par : ou bien et vel sim ple ment par : ou ; c’est dire que, dans le pre mier
cas, il s’agit du ou exclu sif (c’est-à-dire : soit l’un, soit l’autre), tan dis que, dans le
second, il s’agit du ou non exclusif (ou inclu sif), le ou habituel du fran çais.
Aussi quand nous vou lons recher cher les élé ments qui véri fient les pro prié tés p
ou q, nous enten dons rete nir :
– les élé ments qui véri fient la pro priété p seule ;
– les élé ments qui véri fient la pro priété q seule ;
– les élé ments qui véri fient les pro prié tés p et q, à la fois.
Ces élé ments sont tous ceux qui, compris dans les
régions 1, 2 et 3 de la figure 1.10 consti tuent ce que l’on
appelle la réunion des sous- ensembles A et B, que l’on
note : A c B.
On constate, sur le dia gramme, que le complé ment de
A c B est formé par les élé ments de la région 0, c’est àdire
le sous- ensemble A d B. On a donc :
Figure 1.10
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– des élé ments véri fiant la pro priété p seule (région 2) ;
– des élé ments véri fiant la pro priété q seule (région 1) ;
– des élé ments véri fiant les pro prié tés p et q (région 3) ;
– des élé ments ne véri fiant ni la pro priété p, ni la pro priété q (région 0).
Par défi ni tion, les élé ments pos sé dant les pro prié tés p et q sont dits consti tuer
l’inter sec tion des sous- ensembles A et B (région 3) et l’on désigne ce sous- ensemble
par la nota tion A d B, où le sym bole d indique que l’on a appli qué l’opé ra tion
d’inter sec tion aux sous- ensembles A et B.
On voit que :
– les élé ments de la région 2 forment un sous ensemble de R qui peut être noté
A d B ;
– les élé ments de la région 1 forment le sous ensemble A d B ;
– les élé ments de la région 0 consti tuent le sous ensemble A d B.
De plus, le prin cipe de contra dic tion peut main te nant s’expri mer par :
A d A 5 [,
(1.1)
le sym bole [ dési gnant le sous ensemble vide (le plus sou vent nommé ensemblevide).
1.2.3 For mules de de Morgan. Prin cipe du tiers exclu
Reve nons aux sous ensembles A et B pré cé dents et préoccupons nous de savoir si
nous pou vons trou ver un sous ensemble de R dont les élé ments véri fient les pro
prié tés p ou q.
Hâtons- nous de dire que cette for mu la tion est ambigüe. Les latins, par exemple,
avaient deux mots pour expri mer la conjonc tion de coor di na tion ou : vel et a ut. Nous
tra dui sons a ut par : ou bien et vel sim ple ment par : ou ; c’est dire que, dans le pre mier
cas, il s’agit du ou exclu sif (c’est-à-dire : soit l’un, soit l’autre), tan dis que, dans le
second, il s’agit du ou non exclusif (ou inclu sif), le ou habituel du fran çais.
Aussi quand nous vou lons recher cher les élé ments qui véri fient les pro prié tés p
ou q, nous enten dons rete nir :
– les élé ments qui véri fient la pro priété p seule ;
– les élé ments qui véri fient la pro priété q seule ;
– les élé ments qui véri fient les pro prié tés p et q, à la fois.
Ces élé ments sont tous ceux qui, compris dans les
régions 1, 2 et 3 de la figure 1.10 consti tuent ce que l’on
appelle la réunion des sous- ensembles A et B, que l’on
note : A c B.
On constate, sur le dia gramme, que le complé ment de
A c B est formé par les élé ments de la région 0, c’est àdire
le sous- ensemble A d B. On a donc :
Figure 1.10