"'O
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
'
Attention:
dans le cas complexe, il n'y a qu'une
implication.
Les 1) et 2) ne différent que par la
notation de l'indexation.
1.6 • Espaces préhilbertiens
N
N
Pourtoutjde{l , .. ., N},ona:O= < x; 1 ,L>·kXik > = L:>·k < x; 1 ,x;k > =Àjl lx; 1 ll
2 ,
k=I
k=I
d'où ÀJ =O.
•
Théorème de Pythagore
_.....__
1) Cas réel
Soit (E , < . , . > ) un espace préhilbertien réel ; on a : 'V(x, y) E E 2 ,
(x..ly {:::::::> llx + Yll
2 = llxll
2 + llYll
2
{:::::::> llx - Yll
2 = llxll
2 + llYll
2
).
2) Cas complexe
Soit (E,< .,. >)un espacepréhilbertien complexe; on a :
l _____ v _(_ x _ ,y_ ) _ E_E
2
, (x..ly ~ { ::~ ~ ~::~ : ::~::~ ! ::~::~).
Preuve
Il suffit de développer l lx + y 11
2 ou l lx - y 11
2 (cf. 1.6.1 Prop. 4) p. 79).
•
Soit (E,< .,. > )un espace préhilbertien. On a, pour toute famille orthogonale finie
(xdi EI de E:
2
j
l
L::>j = 'L 11xj11
2
.
i EI
i EI
- - - -
Preuve
Puisque < x; , Yj > = 0 si i # j , on a :
•
Soit ( E, < . , . > ) un espace préhilbertien.
1) Soient n E N*, E1 , ... , En des sev de E. Si les Ei (1 ::::; i ::::; n) sont deux à deux
orthogonaux, c'est-à-dire si: 'V(i,j) E {l, ... ,n} 2 ,
(i # j ~ Ei ..l Ej) , alors
n
n
la somme L Ei est directe; on dit que la somme L Ei est directe-orthogonale, et
i=l
i=l
n
n
on note ÇP Ei pour E9 Ei.
i=1
i = I
2) Soit (E;)iEI une famille finie de sev de E. Si les Eï (i E !) sont deux à deux
orthogonaux, alors la somme L Ei est directe ; on dit que la somme L Ei est
i EI
i EI
directe-orthogonale, et on note Q;:J Ei pour E9 Ei.
i E /
iE/
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