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Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
Ceci revient à ce que E soit somme
directe-orthogonale de F et G.
Puisque P est un projecteur, Ker(p)
et lm(p) sont déjà supplémentaires
dans E.
Avec les notations ci-contre, on a :
11
L p; = ldE et, pour tout (i ,j) de
i= I
( 1, .. .,n}
2
tel que i =/= j ,
p; o Pj = Pj o p; = O.
Preuve
11
1) So it (x 1 ,. •• ,x 11 ) E E 1 x ... x E,, tel que L X;= O. Po ur tout j de {l ,. . . ,n),
i= I
Il
n.
on a : < L x; ,Xj > = 0, c'est-à-dire l lxj 112 = 0, et donc Xj = 0. Ceci montre que L E; est directe.
i= I
i= I
2) C'est une traduction de I ).
Soit (E , < ., . >) un espace préhilbertien. Deux sev F , G de E sont dits supplémentaires orthogonaux si et seulement si :
{
F et G sont orthogonaux .
E=F + G
Soient (E , < ., . > ) un espace préhilbertien et p un projecteur de
E (c'est-à-dire un endomorphisme de Etel que p o p= p). On dit que p est un
projecteur orthogonal si et seulement si Ker(p) et Im(p) sont supplémentaires
orthogonaux dans E .
Soient
(E ,< .,. > )
un
espace
préhilbertien
et
E1 ,. .. ,E 11
des
sev de E tels que E soit somme directe-orthogonale de E 1, . .. , E 11 • On appelle
Il
projecteurs orthogonaux associés à la décomposition E = ÇP Ei de E en somme
directe-orthogonale les projecteurs Pi (1 ~ i ~ n)
à (p Ej.
l .;; j .;;n
J=l=i
i = I
sur Eï parallèlement
Étude de sous-espaces orthogonaux dans un espace préhilbertien
Soient (E ,(. I .)) un espace préhilbertien, F,G deux sous-espaces vectoriels de E.
On suppose:
E = F EB G et F c GJ..
a) Démontrer que F et G sont fermés dans E .
b) Établir :
F = GJ. et G = F l. .