Solution
a)• Soit (f.,)neN une suite dans F , convergeant vers un élément x de E.
Puisque E = F œ G , il existef E F , g E G tels que: x = f + g.
On a:
Vn E N, f,, E F C G l.,
donc:
V n E N, (f,, 1 g) = O.
Comme f,, -----+ x et que le produit scalaire est continu, on déduit :
(x 1 g) =O.
Puis:
noo
(g 1 g) = (x - f 1 g) = (x 1 g) - (f 1g)=0,
d'où g = 0 , puis : x = f + g = f E F.
On conclut:
F est fermé dans E.
•Par hypothèse: E = F œ G et F c G l. ,
donc aussi : E = G œ F et G C Gu C F l. .
On peut donc appliquer le résultat précédent au couple (G, F) au lieu de (F,G) et
on conclut : G est fermé dans E.
b) •Soit y E G J. .
Puisque E = F œ G, il existe u E F, VE G tels que: y= u +V.
Ona:
y E GJ. et u E F C Gl. ,
donc : v = y - u E GJ. .
Alors : v E G et v E GJ. , donc v = 0, puis y = u + v = u E F.
Ceci montre : G l. C F.
On conclut : F = G l. .
• Par rôles symétriques de F et G, on conclut aussi : G = F l. .
Les méthodes à retenir
Orthogonalité
1.6 • Espaces préhilbertiens
Conseils
On va utiliser la caractérisation séquentielle
des fermés.
Cf.§ 1.6.3 Pro p. 4.
On a (x 1 g) = 0 et (f 1 g ) = 0, car
x E F C G l., f E F C Gl. , g E G.
Utilisation de la caractérisation séquentielle
des fermés.
F C Gl. ===> F l. :::i G u .
Rôles symétriques de F et G.
On a déjà par hypothèse F c Gl. .
On va donc montrer l'autre inclusion:
G l. c F.
G l. est un sev de E.
• Pour manipuler des orthogonaux, on essaiera de garder une écriture globale et d'utiliser les propriétés générales
(Prop. 1. p. 83) avant d'envisager de passer aux éléments (ex. 1.6.3 à 1.6.5).
• Dans un espace préhilbertien (E,(.I.)), pour montrer une inclusion du genre A C 8 1- , il suffit de prouver:
Va E A, Vb E B , (alb) = 0
(ex.1.6.5 a)). On remarquera d' ailleurs:
A c 8 1- {:::::::::} B c A 1- .
En revanche, prouver une inclusion du genre A1- c B est plus difficile; on pourra essayer d' utiliser un raisonnement par l'absurde (ex. 1.6.5 a)). Dans un espace euclidien (donc de dimension finie), une argumentation fondée
sur la dimension peut permettre de conclure.
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a)• Soit (f.,)neN une suite dans F , convergeant vers un élément x de E.
Puisque E = F œ G , il existef E F , g E G tels que: x = f + g.
On a:
Vn E N, f,, E F C G l.,
donc:
V n E N, (f,, 1 g) = O.
Comme f,, -----+ x et que le produit scalaire est continu, on déduit :
(x 1 g) =O.
Puis:
noo
(g 1 g) = (x - f 1 g) = (x 1 g) - (f 1g)=0,
d'où g = 0 , puis : x = f + g = f E F.
On conclut:
F est fermé dans E.
•Par hypothèse: E = F œ G et F c G l. ,
donc aussi : E = G œ F et G C Gu C F l. .
On peut donc appliquer le résultat précédent au couple (G, F) au lieu de (F,G) et
on conclut : G est fermé dans E.
b) •Soit y E G J. .
Puisque E = F œ G, il existe u E F, VE G tels que: y= u +V.
Ona:
y E GJ. et u E F C Gl. ,
donc : v = y - u E GJ. .
Alors : v E G et v E GJ. , donc v = 0, puis y = u + v = u E F.
Ceci montre : G l. C F.
On conclut : F = G l. .
• Par rôles symétriques de F et G, on conclut aussi : G = F l. .
Les méthodes à retenir
Orthogonalité
1.6 • Espaces préhilbertiens
Conseils
On va utiliser la caractérisation séquentielle
des fermés.
Cf.§ 1.6.3 Pro p. 4.
On a (x 1 g) = 0 et (f 1 g ) = 0, car
x E F C G l., f E F C Gl. , g E G.
Utilisation de la caractérisation séquentielle
des fermés.
F C Gl. ===> F l. :::i G u .
Rôles symétriques de F et G.
On a déjà par hypothèse F c Gl. .
On va donc montrer l'autre inclusion:
G l. c F.
G l. est un sev de E.
• Pour manipuler des orthogonaux, on essaiera de garder une écriture globale et d'utiliser les propriétés générales
(Prop. 1. p. 83) avant d'envisager de passer aux éléments (ex. 1.6.3 à 1.6.5).
• Dans un espace préhilbertien (E,(.I.)), pour montrer une inclusion du genre A C 8 1- , il suffit de prouver:
Va E A, Vb E B , (alb) = 0
(ex.1.6.5 a)). On remarquera d' ailleurs:
A c 8 1- {:::::::::} B c A 1- .
En revanche, prouver une inclusion du genre A1- c B est plus difficile; on pourra essayer d' utiliser un raisonnement par l'absurde (ex. 1.6.5 a)). Dans un espace euclidien (donc de dimension finie), une argumentation fondée
sur la dimension peut permettre de conclure.
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