-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
~
Ol
·;::
>- 0.
0
u
88
Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
Exercices
1.6.3 Soient E un espace préhilbertien, F un sev de E ;
montrer : (F) 1- = p1-.
1.6.5 Soient E = C([O: 1],IR) muni du produit scalaire
(f,g) r--+ 11 fg,
1
1.6.4 Soient E = C([O : l],IR) muni du produit scalaire
(f,g) 1-+ 1
1
fg, c E]O: l[ fixé,
F = {f E E; \lx E [0: 2
], f(x) = 0} ,
1
G = {g E E; \lx E [ 2
: l] , g(x) = 0}.
Montrer:
a) p 1- = G et G1- = F
b) p 1-1- = F
et
F œ p 1- =/= E
a) Montrer on note H = Ker(
b) Montrer que H est fermé, mais que H 1- = {0}.
1.6.6 Soient E un espace préhilbertien, f E L'.C(E) telle
que 111/111 :::;; 1 : montrer:
c) Montrer: H 1-1- =!= H.
Ona bien
{
eo E Vect(Vo, Vi)
e1 E Vect(Vo, Vi)
{
Vo E Vect(eo ,e1)
et Vi E Vect(eo ,e1) .
1.6.4
Il est plus commode de chercher V 11 + 1
sous la forme d'une combinaison linéaire
de
Vo ... , V,, ,e,.+1
plutôt que sous la forme d'une
combinaison linéaire de
eo •. .. • en .en+ 1.
Ker(e - .f) = (lm(e - .f))1- , où e = ldE.
Procédé d'orthogonalisation de Schmidt
Soient (E , < ., . > ) un espace préhilbertien, (e 11 ),, EN une famille libre dans E, que l'on suppose
dans un premier temps indexée par N . Nous allons construire une famille orthogonale (V,,),,EN
de vecteurs de E tous =!= 0 telle que :
\ln E N, Vect(e 0 , . . . ,e 11 ) = Vect(V 0 , ... , V 11 ).
• Notons V 0 = eo =!= 0.
•Cherchons Vi sous la forme: Vi = e 1 + À 1 ,o Vo, À 1 ,o E OC à trouver. On a:
Vi 1- Vo {::::::} < Vo,e1 +À 1, 0 Vo > = 0
{::::::} < Vo, e1 > +À1 ,ol1Vo ll
2 =O.
Puisque V 0 =!= 0 il existe À 1 , 0 convenant.
Si Vi = 0, alors e 1 E OCV 0 = 0Ce 0 , contradiction avec (e 0 ,e 1 ) libre; donc Vi =!=O.
Enfin, il est clair que: Vect(e 0 ,e 1 ) = Vect(V 0 , Vi).
• Supposons construits V 0 , . .. , V 11 tels que :
{
(V 0 , ... , V,,) est : e famille orthogonale à vecteurs tous=!= 0
Vect(eo, ... ,e 11 ) - Vect(Vo, ... , Vn).
Il
Cherchons V 11 + 1 sous la forme: V 11 + 1 = e 11 + 1 + L Àn+ 1,k Vk.
k=O
'
( '
1
)
nrn+ I
'
ou 11.11+ 1,o, ... 11.11+ 1,n E ""'
est a trouver.
0
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Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
Exercices
1.6.3 Soient E un espace préhilbertien, F un sev de E ;
montrer : (F) 1- = p1-.
1.6.5 Soient E = C([O: 1],IR) muni du produit scalaire
(f,g) r--+ 11 fg,
1
1.6.4 Soient E = C([O : l],IR) muni du produit scalaire
(f,g) 1-+ 1
1
fg, c E]O: l[ fixé,
F = {f E E; \lx E [0: 2
], f(x) = 0} ,
1
G = {g E E; \lx E [ 2
: l] , g(x) = 0}.
Montrer:
a) p 1- = G et G1- = F
b) p 1-1- = F
et
F œ p 1- =/= E
a) Montrer on note H = Ker(
b) Montrer que H est fermé, mais que H 1- = {0}.
1.6.6 Soient E un espace préhilbertien, f E L'.C(E) telle
que 111/111 :::;; 1 : montrer:
c) Montrer: H 1-1- =!= H.
Ona bien
{
eo E Vect(Vo, Vi)
e1 E Vect(Vo, Vi)
{
Vo E Vect(eo ,e1)
et Vi E Vect(eo ,e1) .
1.6.4
Il est plus commode de chercher V 11 + 1
sous la forme d'une combinaison linéaire
de
Vo ... , V,, ,e,.+1
plutôt que sous la forme d'une
combinaison linéaire de
eo •. .. • en .en+ 1.
Ker(e - .f) = (lm(e - .f))1- , où e = ldE.
Procédé d'orthogonalisation de Schmidt
Soient (E , < ., . > ) un espace préhilbertien, (e 11 ),, EN une famille libre dans E, que l'on suppose
dans un premier temps indexée par N . Nous allons construire une famille orthogonale (V,,),,EN
de vecteurs de E tous =!= 0 telle que :
\ln E N, Vect(e 0 , . . . ,e 11 ) = Vect(V 0 , ... , V 11 ).
• Notons V 0 = eo =!= 0.
•Cherchons Vi sous la forme: Vi = e 1 + À 1 ,o Vo, À 1 ,o E OC à trouver. On a:
Vi 1- Vo {::::::} < Vo,e1 +À 1, 0 Vo > = 0
{::::::} < Vo, e1 > +À1 ,ol1Vo ll
2 =O.
Puisque V 0 =!= 0 il existe À 1 , 0 convenant.
Si Vi = 0, alors e 1 E OCV 0 = 0Ce 0 , contradiction avec (e 0 ,e 1 ) libre; donc Vi =!=O.
Enfin, il est clair que: Vect(e 0 ,e 1 ) = Vect(V 0 , Vi).
• Supposons construits V 0 , . .. , V 11 tels que :
{
(V 0 , ... , V,,) est : e famille orthogonale à vecteurs tous=!= 0
Vect(eo, ... ,e 11 ) - Vect(Vo, ... , Vn).
Il
Cherchons V 11 + 1 sous la forme: V 11 + 1 = e 11 + 1 + L Àn+ 1,k Vk.
k=O
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1
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ou 11.11+ 1,o, ... 11.11+ 1,n E ""'
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