Q On a (V;, Vk ) = 0 si k # i.
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
n
V11+1 = en+ I + L À11+1 ,kVk.
k=O
Il
en+I = Vn+I - L Àn+l.k vk.
k=O
Dans ce théorème, il y a unicité de
(V 11 ) 11 eN si on rajoute la condition:
Vn EN, < V 11 ,e 11 > = 1.
~ Cas d'une famille finie (e 1 , ••• ,e,,) .
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
1.6 • Espaces préhilbertiens
On a:
'v'i E {0, ... ,n}, V. 1 +1..l Vi
Il
{:::::::::}'v'i E {O, ... ,n}, < V,,e11+1 + L Àn+1,kVk > =0
k=O
Il
{:::::::::} 'v'i E {0, ... ,n}, < V;,e 11 +1 > + L À 11 + 1.k < V,,Vk > = 0
k=O
{:::::::::} 'v'i E {0, ... ,n}, < V;,en+I > +À11+1 ,;l lV.l l
2 =O.
Puisque V 0 , . .. , V 11 sont tous =f:. 0 , Je système d'équations précédent admet une solution et une seule :
'v'i E {0, ... ,n },
< Vi,en+I >
Àn+ l,i = -
l IV;l 12
Considérons le vecteur Vn+i ainsi défini.
Par construction, (V 0 , ... , V 11 +1) est une fami lle orthogonale.
Si Vn+1 = 0, alors :
n
en+ I = - L Àn+ 1,kVk E Vect(Vo, ... ,V11 )
Vect(eo, ... ,en) ,
k=O
contradiction avec (e 0 ,. .. ,e 11 + 1 ) libre. Donc V 11 + 1 =f:. O.
Comme V 11 + 1 E Vect(e 11 + 1 , Vo,. .. Vn) et que Vect(Vo,. .. , Vn) = Vect(eo, ... ,en),
on a: Vn+1 E Vect(e 0 ,. .. ,e 11 +1), et donc Vect(V 0 ,. .. , V 11 + 1 ) C Vect(e 0 ,. .. ,e 11 +1).
De même, en+1 E Vect(Vo, ... , V,,, Vn+ 1) et Vect(eo, ... ,en)= Vect(Vo, ... Vn),
d'où Vect(eo,. .. ,e,,+ 1) C Vect(Vo,. .. , V11+1).
Finalement: Vect(eo, ... ,e 11 + 1) = Vect(Vo, ... , V11 +1).
Résumons l'étude :
Orthogonalisation de Schmidt
Soient (E , < ., . >) un espace préhilbertien, (en)nE N une famille libre dans E.
Il existe une famille (Vn)nE N dans E telle que :
{
(Vn)nEN est orthogonale
"ln EN, Vn =/= 0
"ln EN, Vect(Vo,. .. , Vn) = Vect(eo,. .. ,en) .
En reprenant l'étude précédente pour une famille finie, il est clair que l'on obtient le
résultat suivant :
Soient (E, < ., . >) un espace préhilbertien, n E N*, (e1,. . . ,e 11 ) une famille libre
dans E. Il existe (V1, ... , Vn) E En tel que :
{
Vi, ... , Vn sont deux à deux orthogonaux
Yi E {l ,. .. ,n}, Vi =/= 0
Vi E {l ,. .. ,n} , Vect(VJ ,. .. ,Vi) =Vect(e1,. . .,ei).
Remarque : Comme, dans la construction, Vise décompose sure;, Vi , ... , v, _ 1 , la matrice de
passage de (e 1 ,. •• ,e;) à (Vi,. .. , V;) est triangulaire supérieure à termes diagonaux égaux
à 1.
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-0
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::J
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(V)
......
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V11+1 = en+ I + L À11+1 ,kVk.
k=O
Il
en+I = Vn+I - L Àn+l.k vk.
k=O
Dans ce théorème, il y a unicité de
(V 11 ) 11 eN si on rajoute la condition:
Vn EN, < V 11 ,e 11 > = 1.
~ Cas d'une famille finie (e 1 , ••• ,e,,) .
..._,
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Ol
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>- 0.
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1.6 • Espaces préhilbertiens
On a:
'v'i E {0, ... ,n}, V. 1 +1..l Vi
Il
{:::::::::}'v'i E {O, ... ,n}, < V,,e11+1 + L Àn+1,kVk > =0
k=O
Il
{:::::::::} 'v'i E {0, ... ,n}, < V;,e 11 +1 > + L À 11 + 1.k < V,,Vk > = 0
k=O
{:::::::::} 'v'i E {0, ... ,n}, < V;,en+I > +À11+1 ,;l lV.l l
2 =O.
Puisque V 0 , . .. , V 11 sont tous =f:. 0 , Je système d'équations précédent admet une solution et une seule :
'v'i E {0, ... ,n },
< Vi,en+I >
Àn+ l,i = -
l IV;l 12
Considérons le vecteur Vn+i ainsi défini.
Par construction, (V 0 , ... , V 11 +1) est une fami lle orthogonale.
Si Vn+1 = 0, alors :
n
en+ I = - L Àn+ 1,kVk E Vect(Vo, ... ,V11 )
Vect(eo, ... ,en) ,
k=O
contradiction avec (e 0 ,. .. ,e 11 + 1 ) libre. Donc V 11 + 1 =f:. O.
Comme V 11 + 1 E Vect(e 11 + 1 , Vo,. .. Vn) et que Vect(Vo,. .. , Vn) = Vect(eo, ... ,en),
on a: Vn+1 E Vect(e 0 ,. .. ,e 11 +1), et donc Vect(V 0 ,. .. , V 11 + 1 ) C Vect(e 0 ,. .. ,e 11 +1).
De même, en+1 E Vect(Vo, ... , V,,, Vn+ 1) et Vect(eo, ... ,en)= Vect(Vo, ... Vn),
d'où Vect(eo,. .. ,e,,+ 1) C Vect(Vo,. .. , V11+1).
Finalement: Vect(eo, ... ,e 11 + 1) = Vect(Vo, ... , V11 +1).
Résumons l'étude :
Orthogonalisation de Schmidt
Soient (E , < ., . >) un espace préhilbertien, (en)nE N une famille libre dans E.
Il existe une famille (Vn)nE N dans E telle que :
{
(Vn)nEN est orthogonale
"ln EN, Vn =/= 0
"ln EN, Vect(Vo,. .. , Vn) = Vect(eo,. .. ,en) .
En reprenant l'étude précédente pour une famille finie, il est clair que l'on obtient le
résultat suivant :
Soient (E, < ., . >) un espace préhilbertien, n E N*, (e1,. . . ,e 11 ) une famille libre
dans E. Il existe (V1, ... , Vn) E En tel que :
{
Vi, ... , Vn sont deux à deux orthogonaux
Yi E {l ,. .. ,n}, Vi =/= 0
Vi E {l ,. .. ,n} , Vect(VJ ,. .. ,Vi) =Vect(e1,. . .,ei).
Remarque : Comme, dans la construction, Vise décompose sure;, Vi , ... , v, _ 1 , la matrice de
passage de (e 1 ,. •• ,e;) à (Vi,. .. , V;) est triangulaire supérieure à termes diagonaux égaux
à 1.
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