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Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
1.6.5
On cherche y par sa décomposition
sur la base (/1 , . .. ,Jn) de F.
Ona:
{
1 si i = k
(f;,fi) = 0 si i =;t:k.
Projection orthogonale sur un sous-espace
vectoriel de dimension finie
Soient (E, < ., . >) un espace préhilbertien, F un sev de dimension finie de E,x E E.
Nous allons montrer qu'il existe un élément et un seul y de F tel que (x - y)..LF,
puis étudier l'application x ~ y .
F
Puisque F est de dimension fini e, F admet au moins une base (e1, . .. ,en )
(où n = dim(F)) .
D'après le procédé d'orthogonalisation de Schmidt (cf. 1.6.4 p. 89) et en normant les vecteurs
obtenus, on voit que F admet au moins une base orthonormale (/1, ... , fn).
n
Soit y E F quelconque, y= L Yifi sa décompositon sur (/1 , ... , fn ), où
On a:
Résumons l'étude :
i=l
(x - y)..lF
{:::::::} 'Vk E {1, ... ,n}, (x - y)..lfk
n
{:::::::} 'Vk E {1,. . . ,n}, < fk,x - L Yifi > = 0
{:::::::} V k E { l ,. . . , n },
{:::::::} V k E {1,. . . , n } ,
i=I
< fk,x > -yk = 0
Yk = < fk ,x > ·
Théorème de projection orthogonale sur un sev
de dimension finie
Soient (E , <- .-,.-> - ) - un espace préhilbertien, Fun sev de dimension finie de E, x ~
Il existe un élément et un seul y de F tel que (x - y)..lF ; il s'agit de
n
y = L < fk,X > fh où (/1,. .. .fn) est n'importe quelle base orthonormale
k= I
de F . Cet élément y est appelé la projection orthogonale de x sur F ou : le projeté orthogonal de x sur F .
Soient ( E ,< .,. >) un espace préhilbertien, Fun sev de dimension finie de E. On
note p F : E ~ E l'application qui, à chaque x de E, associe l'unique élément y de
F tel que (x - y)..l F.
Alors:
1) p Fest un projecteur de E, c'est-à-dire : p F E L (E ) et p F o p F = p F
2) Im(pp) = F
et Ker( pp ) = F J_