\ ") \ Rappel de notation :
\.,;..) .CC ( E) est l'ensemble des applications
linéaires et continues de E dans E.
"'O
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
'
Pourf E .CC(E) :
1 111111 = Sup llf(x)l l.
llxll.;; 1
Remarquer la conjugaison sur le premier
facteur.
Ainsi,pF(x) estl'élémentde Fquiest
à la distance minimale de x.
1.6 • Espaces préhilbertiens
3) p F est symétrique, c'est-à-dire :
'v'(x ,x') E E
2 , < PF(X) ,x ' > = < x,pF(x') >
4) PF E ,CC(E) et, si F -::f. {0}, lllPFlll = 1
5) L'application F ----+ lR
admet une borne inférieure, atteint celle-ci et
t~ llx - /11
l'atteint en p F (x) seulement.
L'application p F est appelé le projecteur orthogonal sur F.
p 1 (x)
F
Preuve
Utilisons les notations du Théorème p. 90.
n
1) •'v'À E OC, 'v'(x ,x') E E
2 ,
PF(Àx +x') = L < fk.ÀX +x' > fk
k=I
n
n
=LÀ < fk.x > fk + L < fk ,X
1 > fk = ÀPF(X) + PF(x').
k= I
k=I
•Pour tout x de E, pp(x) E F et donc pF(PF(x)) = pF(x).
2) • ('v'z E F, p F(Z) = z), donc F C Im (PF ).
o('v'x E E ,pF(x) E F) , donclm(PF) CF.
• Ker(PF) = (x E E; PF(X) = 0} = {x E E; x..LF} = Fl. .
n
3)
'v'(x,x') E E
2 ,
< PF(x) ,x' > = < L < fk.x > fk ,X
1 >
k=I
n
n
= L < fk,X > < fk,X
1 > = L < fk,X
1 > < fk,X >
k = I
k=I
= < PF(x' ),x > = < x,pp(x') > .
4) •
Soient x E E , y= pp(x). Comme (x - y)..LF, en particulier (x - y)..Ly,
d'où (théorème de Pythagore): llx ll
2 = llx - yll
2 + llYll
2 , et donc llY ll ::;:; llxll.
Ceci prouve: 'v'x E E , llpF(x) ll :S; llx ll .
Comme p F E .C(E), il s'ensuit PF E /X(E) et 111PF1 11 ::;:; 1 (cf. 1.2.5 Th. p. 52) .
•Si F =!= {0}, il existe! E F tel quef =!= 0, et alorsPFCf) = f, d'où lll PF lll:? 1.
5) Soient x E E,f E F. Comme (x - pF(x))..L(pF(X) - f) , le théorème de Pythagore
donne:
llx - !11
2 = llx - PF(x)ll
2 + ll PF(X) - 111
2
•
Ceci montre :
{
llx - f ll :? llx - PF(x) ll
llx - fl l = llx - PF(x) ll <===? ll PF(x) - fll = 0 <===? f = PF(x).
En particulier, d(x,F) = lnf llx - ! Il= llx - PF(x) ll.
fEF
•
91