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Chapitre 1 • Espaces vecto riels normés
On peut même écrire :
FQ) F l. = E.
Pour tout sev F de dimension finie d'un espace préhilbertien E, on a:
F $F.l.. = E .
Preuve:
Comme p Fest un projecteur, on a : E = I m(p F) EB K er(p F) = F EB p .L .
•
Exercices 1.6.7, 1.6.8.
Remarque:
Si F n'est pas de dimension finie, on a F n p .L = {0} (cf. 1.6.3 Prop. 1 6) p. 83), mais on peut
avoir F + p .L =I= E (cf. exercice 1.6.5 p. 88).
Calcul d'une borne inférieure
Calculer Inf [1(x
2 -(a+ bx))
2 dx.
(a,b)elR 2 Jo
Solutio»
1 re méthode : utilisation du théorème de projection orthogonale
Notons E = C([O ; l], JR) muni du produit scalaire
(.1.): (f,g) r---+ (f 1 g) = 1
1
lg
et de la norme associée
11. 11: l r---+ 111 11 = (f1 !)
112 = (1' 1
2
)
112
,
et considérons les éléments e 0 , e 1 , l de E définis, pour tout x E [O; l], par:
eo(x) = 1,
et F = Vect (e 0 , e 1 ).
Ainsi, ( E , (. 1 ) ) est un espace préhilbertien, l E E et F est un sev de dimension
finie de E.
D'après le théorème de la projection orthogonale, e n notant g le projeté orthogonal del sur F , on a :
Inf f' (x
2 - (a + bx))
2 dx= Tnf lll - (aeo+be1)11
2 = (d(f,F))
2
(a.b)elR 2 Jo
(a.b) eR 2
= lll-gll
2
.
Notons g = ae 0 + f3e 1 le proj eté orthogonal del sur F .
On a:
, , _______, _ { (eo ll - g)= O , , _______, _ { (eolf) - a(eoleo) - f3(eo le1)= 0
l - g J_ F .,.._,..
.,.._,..
(e1 1 l - g) = 0
(e1 1 f) - a(e1 1 eo) - f3(e1 1 e,) = 0
{:::::::} 1 a(eo 1 eo) + f3(eo 1 ei) = (eo 1 f)
a(e1 1 eo) + f3(e1 1 ei) = (e1 1 f) .
Co»seils
On va calculer le couple (a,{J).
Il s'agit d'un système linéa ire de deux
équations à deux inconnues.