SolutioH
On a:
(e0 1e0) = 1
1
dt=1,
1
1
1
(eole1) = (e1 leo) =
tdt = -,
0
2
(e1 le1)= t
2 dt= -,
1
1
1
0
3
(eolf)=
t 2 dt= -,
1
1
1
0
3
(e1 1 f) = t
3 dt = - .
1
1
1
0
4
Ainsi:
1
1
l
a+ - {3= -
1
2
3
Ci= - -
g = p F (f) {::::::::}
{::::::::} 1 6
l
1
1
-a+ -{3 = -
f3 = 1.
2
3
4
D'après le théorème de Pythagore, puisque f - g ..L g, on a :
Il!- gll
2 = 11!11
2
- llgll
2
.
On calcule:
11!11
2 = t t
4 dt = ~ .
lo
5
llgl l
2 = llaeo + f3e111
2 = ct
2 ll eo ll
2 + 2a{J(eo1 el)+ f3
2 lle111
2
= ( - ~y· l +2( - ~) · l · ~ + l · ~ = 3
1
6 - ~ + ~ = ;6.
D'où:
On conclut:
2
2
2
1
7
1
llf- gll = 11!11 - llgll = - - - = - .
5
36
180
Inf
(x 2 - (a+ bx) )
2 dx = - : : : : : : 0,005 556.
1
1
1
(a,b) eR 2 o
180
ze méthode : Calcul élémentaire
On calcule, pour tout (a,b) E IR 2 :
1
1
(x 2 - (a +bx ))
2 dx= 1
1
(x
4 -2bx
3 + (b
2 -2a)x 2 +2abx +a
2 )dx
Il en résulte :
1
2b
b
2 - 2a
2
= - - - +
+ab+a
5
4
3
2
2a
b
2
b
1
=a +ab - - + - - - + -
3
3
2
5
= (a + ~ - ~) 2 - b2 + ~ - ~ + b2 - ~ + ~
2 3
4
3 9
3
2 5
= (a + ~ - ~) 2 + b2 - ~ + _±_
2 3
12 6 45
(
b
1 )
2
1
2
1
= a+ - - -
+ - (b-1) + - .
2
3
12
180
Inf
(x 2 -(a+ bx))
2 dx= -
1
1
1
(a, b)elR2 o
180
1.6 • Espaces préhilbertiens
CoHseils
Résolution du système, par exemple par
combinaisons linéaires.
Vérifier la solution.
g
F
Mise sous forme canonique vis-à-vis de la
variable a, puis de la variable b, ou encore :
réduction de Gauss d'une forme quadratique.
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