-0
0
c
:J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
94
Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
Soladion
et, de plus, cette borne inférieure est atteinte en un couple (a ,b) et un seul,
le couple (a = - ~, b = 1).
3e méthode: extrémum d'une fonction réelle de deux variables réelles
Notons
F : JR
2
~ IR, (a ,b) ~ F(a ,b) = 1
1
(x
2 - (a+ bx) )
2 On a, pour tout (a ,b) E JR
2 :
2
2a
b
2
b
1
F(a ,b) =a +ab - 3
+ } - 2
+ 5 ..
L'application Fest de classe C
1 sur l'ouvert JR
2 de JR
2 .
Déterminons les points critiques de F.
On a:
D'où:
V (a ,b) E JR2,
1
/
2
Fa(a ,b)=2a+b-3
/
2b
1
Fb(a ,b) =a+ 3
- 2
.
1
2a+b-~=0
2b
1
a+ - - - =0
3
2
{
6a + 3b = 2
l a = - ~
<==::::}
<==::::}
6
6a + 4b = 3
b = 1.
Ainsi, F admet un point critique et un seul, ( - ~ , 1).
1
Pour (a ,b) E JR
2
, notons h =a+ 6 , k = b - 1, d'où:
On a alors:
1
a= - - + h, b = 1 + k.
6
(
1
)
2
(
1
)
(1 + k)
2
F(a ,b) = - (5 + h + - (5 + h (l + k) +
3
- - - - +h - - (l+k)+ -
2( 1
)
1
l
3
6
2
5
1
k
2
= -
+h
2 +hk+180
3
l ( k)
2
k
2
= 180 + h + 2 + 12.
1
Il en résulte F(a,b) ~
180
et il y a égalité si et seulement si h = k =O.
On conclut:
Inf
(x
2
- (a + bx ))
2 dx = - .
1
1
1
(a.b)ER 2 O
180
Conseils
Développement, comme dans la 2e méthode.
Recherche des extrémums d'une fonction
réelle de deux variables réelles, cf. Analyse
MPSI § 11.5.2 Théorème, ou § 9.3.2 de ce
volume.
Résolution d'un système linéaire de deux
équations à deux inconnues.
Changement de variables. L'étude en
( - ~, 1) pour les variables (a ,b)
se ramène à l'étude en (0 ,0) pour les
variables (h,k) .